MATEMANIJA

Zadatak glasi koliki je broj resenja jednacine u opsegu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]:
[dispmath]\cos3x-\sin3x=\sqrt2[/dispmath] Ja sam resavao ovako:
[dispmath]\cos^23x-2\sin3x\cos3x+\sin^23x=2\\
-2\sin3x\cos3x=1\\
\sin6x=-1[/dispmath] I tako dobio [inlmath]6[/inlmath] resenja, a tacan odgovor je [inlmath]3[/inlmath]. Da li neko zna gde je greska?

Koliko vidim, početnu jednačinu si kvadrirao i tu je greška. Kvadriranjem jednačine postoji mogućnost promene broja rešenja, promene periode, ...
Ovo je jednačina oblika [inlmath]a\sin{x}+b\cos{x}=c[/inlmath], a ona se obično rešava tako što se podeli sa [inlmath]\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath].

Može se raditi i tako što se obe strane pomnože sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], pa se na levoj strani [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] napiše kao [inlmath]\sin\frac{\pi}{4}[/inlmath] odnosno kao [inlmath]\cos\frac{\pi}{4}[/inlmath] i primeni se obrnuta adiciona...
[dispmath]\sin\frac{\pi}{4}\cos3x-\cos\frac{\pi}{4}\sin3x=1[/dispmath] [dispmath]\cos\frac{\pi}{4}\cos3x-\sin\frac{\pi}{4}\sin3x=1[/dispmath]

---

Što se tiče pomenutog kvadriranja, dobar primer koji pokazuje koliko s kvadriranjem treba biti oprezan bila bi jednakost [inlmath]-3=3[/inlmath], koja je očigledno netačna... Ali, nakon kvadriranja, ona postaje [inlmath]9=9[/inlmath], i op – od netačne jednakosti odjednom dobismo tačnu. Zato je pre svakog kvadriranja neophodno postaviti uslove o predznaku. U principu se i ovaj zadatak može rešiti kvadriranjem kako si i krenuo, ali se onda mora postaviti uslov da, pošto je desna strana pozitivna, mora biti pozitivna i leva strana, tj. [inlmath]\cos3x>\sin3x[/inlmath]. Odatle se dobije uslov [inlmath]-\frac{3\pi}{4}+2k\pi<3x<\frac{\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] koji u preseku sa [inlmath]\sin6x=-1[/inlmath] koje si dobio, daje ispravan skup rešenja. Po meni, dosta petljancije, jednostavnije je raditi na Faretov ili na gorepokazani način..

Hvala na odgovorima, jasno sada