MATEMANIJA

Treba mi provera sledećih zadataka, pošto nemam rešenja:
1.
[dispmath]\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-\cos^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}+\right)}{\mathrm{tg}^2 \left(\frac{\pi}{2}\alpha\right)-\mathrm{ctg}^2 \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{-\mathrm{ctg}^2\alpha+\mathrm{tg}^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\frac{\sin^4\alpha-\cos^4 \alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\frac{\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=[/dispmath]
[dispmath]\sin^2\alpha\cos^2\alpha[/dispmath]

2
[dispmath]\frac{\sin^2 x}{\sin x-\cos x}+\frac{\sin x+\cos x}{1-\mathrm{tg}^2 x}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sin^2 x}{\sin x-\cos x}+\frac{\sin x+\cos x}{\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sin^2 x}{\sin x-\cos x}+\frac{\left(\sin x+\cos x\right)\cos^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(\sin x+\cos x\right)\sin^2 x+\left(\sin x+\cos x\right)\cos^2 x}{\sin^2x-\cos^2 x}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x-\cos x}=\frac{1}{\sin x-\cos x}[/dispmath]

Jesi li dobro zapisao postavku prvog? Mislim da bi trebalo ovako da glasi:
[dispmath]\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-\cos^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{\mathrm{tg}^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-\mathrm{ctg}^2 \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}[/dispmath]
Uz ovakvu postavku, rešenje ti je dobro. Moglo bi eventualno još da se uprosti, ako dobijeni proizvod spojiš u jedinstven kvadrat i iskoristiš formulu za sinus dvostrukog ugla.

U drugom imaš jednu grešku. Nakon spajanja ona dva razlomka dobije se:
[dispmath]\frac{\left(\sin x+\cos x\right)\sin^2 x-\left(\sin x+\cos x\right)\cos^2 x}{\sin^2x-\cos^2 x}[/dispmath]
I dalje:
[dispmath](\sin x+\cos x)\cdot\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2x-\cos^2 x}=\sin x+\cos x[/dispmath]
(ovo dodatno možeš uprostiti ako iskoristiš svojstvo [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x[/inlmath] i primeniš formulu za zbir sinusa)

Postavka je kao tvoja. Hvala za sve ispravke, samo mi nije jasno u drugom zadatku, odakle minus između sabiraka u brojiocu.
Imaš li ideju za [inlmath]\sin^6 x+\cos^6 x+3\sin^2 x\cos^2 x[/inlmath] (samo hint mi treba ) ?

Obrati pažnju da množenjem sa [inlmath]\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}[/inlmath] prvog od razlomaka koje spajaš dobijaš nov razlomak sa imeniocem [inlmath]\sin^2x-\cos^2 x[/inlmath], dok je imenilac drugog razlomka [inlmath]\cos^2 x-\sin^2x[/inlmath]. Da bi to sveo na isti imenilac dodaješ minus ispred drugog, a to onda znači da se i brojiocu mora promeniti znak.

Što se tiče izraza [inlmath]\sin^6 x+\cos^6 x+3\sin^2 x\cos^2 x[/inlmath]... Za početak grupišeš prvi deo [inlmath]\sin^6 x+\cos^6 x[/inlmath] kao zbir kubova... Onda u dobijenom rezultatu staviš [inlmath]1[/inlmath] za zbir kvadrata sinusa i kosinusa, pa ti ostaje:
[dispmath]\sin^4 x+\cos^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+3\sin^2 x\cos^2 x=\sin^4 x+\cos^4 x+2\sin^2 x\cos^2 x=\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2 = 1[/dispmath]

U prvom zadatku ti jeste dobar rezultat, ali postupak nije:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\:\alpha\qquad\Rightarrow\qquad\mathrm{tg}^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\mathrm{ctg}^2\alpha[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{ctg}\:\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=-\mathrm{tg}\:\alpha\qquad\Rightarrow\qquad\mathrm{ctg}^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{tg}^2\alpha[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\qquad\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-\cos^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{\mathrm{tg}^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-\mathrm{ctg}^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\mathrm{ctg}^2\alpha-\mathrm{tg}^2\alpha}=-\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{-\mathrm{ctg}^2\alpha+\mathrm{tg}^2\alpha}[/dispmath]
Zbog greške s tangensom i kosinusom došao si do pogrešnog predznaka izraza u tom međukoraku.

Međutim, dobio si ispravno rešenje jer si napravio grešku i u sledećem koraku:

ubavic je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\frac{\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}}=\cdots[/dispmath]

Izraz [inlmath]\sin^4\alpha-\cos^4\alpha[/inlmath] si, znači, rastavio kao [inlmath]\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)[/inlmath] što, zapravo, ne bi bilo jednako polaznom izrazu [inlmath]\sin^4\alpha-\cos^4\alpha[/inlmath], već bi bilo jednako izrazu [inlmath]\cos^4\alpha-\sin^4\alpha[/inlmath], tj. izrazu [inlmath]-\left(\sin^4\alpha-\cos^4\alpha\right)[/inlmath], tj. i tu si doveo do pogrešnog predznaka. Pogrešan predznak iz tog koraka i onaj pogrešan predznak iz onog koraka s tangensom i kotangensom međusobno se potiru i – rešenje ispadne dobro.