MATEMANIJA

Evo jos jednog zadatka|: Zbir svih resenja jednacine koren iz 2 * (cos na 3 x-sin na 3 x)*(1+2cos^2(x-45)) = (2+sin2x)^2 koja pripadaju intervalu [-2PI,2PI] je? Hvala

Molim te, pročitaj pravilnik, posebno članove 6,11 i 13.

Odavde nije jasno da li se radi o:
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)}=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+ 2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)}\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]

Kako nisam siguran na šta od ovoga se zadatak odnosi, daću uputstva kako se mogu transformisati neki delovi izraza do jednostavnijih...
[dispmath]\cos^3 x-\sin^3 x=(\cos x-\sin x)\left(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x\right)=(\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=(\cos x-\sin x)\left(1+\frac{1}{2}\sin 2x\right)[/dispmath]
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2-1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)-1=2+\cos\left(2\cdot\left(x-45^\circ\right)\right)=2+\cos\left(2x-90^\circ\right)=2+\sin 2x[/dispmath]

Radi se ovoj drugoj jednacini
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]

Molim te da obratiš pažnju i na članove 9. i 15. Pravilnika.

Milovan ti je napisao na koji način možeš da kreneš sa sređivanjem ove jednačine. Možeš započeti, pa ćemo ti onda pokazati šta i kako dalje, ako bude bilo problema.

Što se tiče izraza [inlmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)[/inlmath], evo još jednog načina za njegovo sređivanje, pa odaberi koji ti je zgodniji:
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=1+2\left(\cos x\cos 45^\circ+\sin x\sin 45^\circ\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+2\left(\frac{\sqrt 2}{2}\cos x+\frac{\sqrt 2}{2}\sin x\right)^2=1+\cancel 2\cdot\frac{1}{\cancel 2}\left(\cos x+\sin x\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+\left(\underbrace{\cos^2 x+\sin^2 x}_1+\underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin 2x}\right)=1+1+\sin 2x=2+\sin 2x[/dispmath]

Hvala za ona prethodna resenja. Ali ovaj zadatak stvarno ne razumem.

Odrediti broj resenja jednacine [inlmath]\sin 2x=\sin x[/inlmath] u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath].
Ja sam ovako uradio:
[inlmath]2\sin x\cos x-\sin x=0[/inlmath]
[inlmath]\sin x(2\cos-1)=0:[/inlmath] [inlmath]\sin x=0[/inlmath] ili [inlmath]\cos x=0.5[/inlmath] itd.
Ali ne znam kako da nadjem resenja u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath]

Postupak ti je u redu. Ostaje ti samo da izdvojiš ona rešenja za koja važi da je [inlmath]-6<x<6[/inlmath].

Iz [inlmath]\sin x=0[/inlmath] sledi da to važi za sledeće vrednosti [inlmath]x[/inlmath]: [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath].

Iz [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath] dobijamo sledeći skup rešenja: [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath].

Dakle, ukupno ima 7 rešenja na zadatom intervalu.

Da, ali kako znate da postoje 7 resenja? Da li mozete to da pojasnite?

Nema potrebe da citiraš poruku iznad svoje, pogotovo ne celu, bar ako ne želiš da izdvojiš određeni deo. Baš na taj član ti je Daniel skrenuo pažnju.

Ja sam ti pored toga koliko ih ima naveo i koja su.

Dakle, za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\sin x = 0[/inlmath]? Za [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath]. To su tri mogućnosti.

Zatim, pitaš sa za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath]... To su vrednosti [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath]. Njih ima [inlmath]4[/inlmath].

Ta [inlmath]4[/inlmath] plus prethodna [inlmath]3[/inlmath] čine pomenutih [inlmath]7[/inlmath] rešenja. Zapisana jedinstvenim skupom, to su:
[dispmath]x\in\left\{0,\pm\frac{\pi}{3},\pm\pi,\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/dispmath]

Hvala, ali mene ju zbunjivao interval [inlmath](-6,6)[/inlmath] tj. mislio sam da treba da nadjem uglove koji njemu pripadaju. Zasto su ga onda i stavili u postavku zadatka. I izvinite sto krsim pravila, ovde sam nov, polako dok izucim zakone

Pazi, sama trigonometrijska jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Recimo, [inlmath]\sin x=0[/inlmath] je zadovoljena za sve vrednosti [inlmath]x=k\pi[/inlmath]. Interval daje ograničenje: [inlmath]-6<k\pi<6[/inlmath]. Ovo važi samo ako je [inlmath]k[/inlmath] iz skupa [inlmath]k=\{-1,0,1\}[/inlmath] Za [inlmath]2[/inlmath] i veće vrednosti [inlmath]k[/inlmath], kao i za [inlmath]-2[/inlmath] i manje, nejednakost koju sam naveo nije zadovoljena.

Analogno radiš i sa jednačinom [inlmath]\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath]. Samo što ćeš dobiti [inlmath]4[/inlmath] "dopuštene" vrednosti za [inlmath]k[/inlmath].