MATEMANIJA

Evo jos jednog zadatka|: Zbir svih resenja jednacine koren iz 2 * (cos na 3 x-sin na 3 x)*(1+2cos^2(x-45)) = (2+sin2x)^2 koja pripadaju intervalu [-2PI,2PI] je? Hvala

Molim te, pročitaj pravilnik, posebno članove 6,11 i 13.

Odavde nije jasno da li se radi o:
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)}=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+ 2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]
ili
[dispmath]\sqrt{2\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)}\cdot\left(1+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]

Kako nisam siguran na šta od ovoga se zadatak odnosi, daću uputstva kako se mogu transformisati neki delovi izraza do jednostavnijih...
[dispmath]\cos^3 x-\sin^3 x=(\cos x-\sin x)\left(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x\right)=(\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=(\cos x-\sin x)\left(1+\frac{1}{2}\sin 2x\right)[/dispmath]
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2-1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=2+2\cos^2\left(x- 45^\circ\right)-1=2+\cos\left(2\cdot\left(x-45^\circ\right)\right)=2+\cos\left(2x-90^\circ\right)=2+\sin 2x[/dispmath]

Radi se ovoj drugoj jednacini
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3 x-\sin^3 x\right)\cdot\left(1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)\right)=\left(2+\sin^2 2x\right)^2[/dispmath]

Molim te da obratiš pažnju i na članove 9. i 15. Pravilnika.

Milovan ti je napisao na koji način možeš da kreneš sa sređivanjem ove jednačine. Možeš započeti, pa ćemo ti onda pokazati šta i kako dalje, ako bude bilo problema.

Što se tiče izraza [inlmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)[/inlmath], evo još jednog načina za njegovo sređivanje, pa odaberi koji ti je zgodniji:
[dispmath]1+2\cos^2\left(x-45^\circ\right)=1+2\left(\cos x\cos 45^\circ+\sin x\sin 45^\circ\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+2\left(\frac{\sqrt 2}{2}\cos x+\frac{\sqrt 2}{2}\sin x\right)^2=1+\cancel 2\cdot\frac{1}{\cancel 2}\left(\cos x+\sin x\right)^2=[/dispmath][dispmath]=1+\left(\underbrace{\cos^2 x+\sin^2 x}_1+\underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin 2x}\right)=1+1+\sin 2x=2+\sin 2x[/dispmath]

Hvala za ona prethodna resenja. Ali ovaj zadatak stvarno ne razumem.

Odrediti broj resenja jednacine [inlmath]\sin 2x=\sin x[/inlmath] u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath].
Ja sam ovako uradio:
[inlmath]2\sin x\cos x-\sin x=0[/inlmath]
[inlmath]\sin x(2\cos-1)=0:[/inlmath] [inlmath]\sin x=0[/inlmath] ili [inlmath]\cos x=0.5[/inlmath] itd.
Ali ne znam kako da nadjem resenja u intervalu [inlmath](-6,6)[/inlmath]

Postupak ti je u redu. Ostaje ti samo da izdvojiš ona rešenja za koja važi da je [inlmath]-6<x<6[/inlmath].

Iz [inlmath]\sin x=0[/inlmath] sledi da to važi za sledeće vrednosti [inlmath]x[/inlmath]: [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath].

Iz [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath] dobijamo sledeći skup rešenja: [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath].

Dakle, ukupno ima 7 rešenja na zadatom intervalu.

Da, ali kako znate da postoje 7 resenja? Da li mozete to da pojasnite?

Nema potrebe da citiraš poruku iznad svoje, pogotovo ne celu, bar ako ne želiš da izdvojiš određeni deo. Baš na taj član ti je Daniel skrenuo pažnju.

Ja sam ti pored toga koliko ih ima naveo i koja su.

Dakle, za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\sin x = 0[/inlmath]? Za [inlmath]x\in\{0,\pm\pi\}[/inlmath]. To su tri mogućnosti.

Zatim, pitaš sa za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] između [inlmath]-6[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] je [inlmath]\cos x=0,5[/inlmath]... To su vrednosti [inlmath]x\in\left\{\pm\frac{\pi}{3},\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/inlmath]. Njih ima [inlmath]4[/inlmath].

Ta [inlmath]4[/inlmath] plus prethodna [inlmath]3[/inlmath] čine pomenutih [inlmath]7[/inlmath] rešenja. Zapisana jedinstvenim skupom, to su:
[dispmath]x\in\left\{0,\pm\frac{\pi}{3},\pm\pi,\pm\frac{5\pi}{3}\right\}[/dispmath]

Hvala, ali mene ju zbunjivao interval [inlmath](-6,6)[/inlmath] tj. mislio sam da treba da nadjem uglove koji njemu pripadaju. Zasto su ga onda i stavili u postavku zadatka. I izvinite sto krsim pravila, ovde sam nov, polako dok izucim zakone

Pazi, sama trigonometrijska jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Recimo, [inlmath]\sin x=0[/inlmath] je zadovoljena za sve vrednosti [inlmath]x=k\pi[/inlmath]. Interval daje ograničenje: [inlmath]-6<k\pi<6[/inlmath]. Ovo važi samo ako je [inlmath]k[/inlmath] iz skupa [inlmath]k=\{-1,0,1\}[/inlmath] Za [inlmath]2[/inlmath] i veće vrednosti [inlmath]k[/inlmath], kao i za [inlmath]-2[/inlmath] i manje, nejednakost koju sam naveo nije zadovoljena.

Analogno radiš i sa jednačinom [inlmath]\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath]. Samo što ćeš dobiti [inlmath]4[/inlmath] "dopuštene" vrednosti za [inlmath]k[/inlmath].

Evo ti postupak za jednu nejednačinu za slučaj s kosinusom.

Iz [inlmath]\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath] dobijaju se rešenja [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], gde je [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Pošto mora biti zadovoljeno [inlmath]-6<x<6[/inlmath], možemo postaviti nejednačine po [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]-6<-\frac{\pi}{3}+2k\pi<6[/dispmath]
[dispmath]-6<\frac{\pi}{3}+2k\pi<6[/dispmath]
Ovako bi izgledao postupak za, recimo, [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]:
[dispmath]-6<-\frac{\pi}{3}+2k\pi<6\quad\Rightarrow\quad -\frac{3}{\pi}<-\frac{1}{6}+k<\frac{3}{\pi}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{6}-\frac{3}{\pi}<k<\frac{1}{6}+\frac{3}{\pi}\quad\Rightarrow\quad[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad -0,79<k<1,12\quad\Rightarrow\quad k=0\;\lor\;k=1[/dispmath]
[dispmath]x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{3}\;\lor\;x=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}[/dispmath]
Ti sad uradi isto to za [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]...

A kako nejednakost nije zadovoljena za k>2, kad je -6<360. Mi ovo u skoli nismo radili, ucili smo samo npr. x pripada (-2pi,2pi). Izvinite zbog ovakvog pisanja , nisam jos savladao koju komandu uneti da bi se napisao grcki simbol PI. Hvala

Ako ti je postupak sa preciznim rešavanjem nejednačine obiman ili komplikovan, kod ovakvog, manjeg intervala možeš da isprobaš nekoliko vrednosti [inlmath]k[/inlmath] i tako odrediš za koje od tih vrednosti će vrednost [inlmath]x[/inlmath] izaći iz zadatog intervala.

Recimo, za [inlmath]-6<k\pi<6[/inlmath] isporobaš vrednosti [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i to će zadovoljiti jednakost. Već kod [inlmath]2[/inlmath], a i kod većih brojeva, [inlmath]k\pi[/inlmath]će biti veće od [inlmath]6[/inlmath]. S druge strane, i [inlmath]-1[/inlmath] će biti jedno od rešenja, ali već kod [inlmath]-2[/inlmath] [inlmath]k\pi[/inlmath] postaje manje od [inlmath]-6[/inlmath]. Za manje vrednosti [inlmath]k[/inlmath] takođe. I tako dobiješ taj skup [inlmath]x\in\{-\pi,0,\pi\}[/inlmath]

E sad, pošto pominješ [inlmath]360[/inlmath] pretpostavljam da mešaš stepene i radijane. Istina, jeste [inlmath]2\pi\mbox{ rad}=360^\circ[/inlmath], ali ti [inlmath]2\pi[/inlmath] treba da tretiraš kao [inlmath]2\cdot 3,14\mbox{ rad}[/inlmath], a ne kao [inlmath]360^\circ[/inlmath]. Ili, jednostavnije rečeno, uopšte se ne obaziri na uglove u stepenima, već se drži radijanskih mera, i koristi da je [inlmath]\pi=3,14[/inlmath] (približno).

A što se tiče pisanja matematičkih simbola, preporučujem ti da pročitaš ovo. Latex je jednostavan, za svega par minuta ćeš jednostavno moći da ispišeš sve ove formule koje i mi. Konkretno, broj [inlmath]\pi[/inlmath] možeš zapisati kao:

Kôd: Obeleži sve

\pi

Naravno, čitavu formulu treba umetnuti u InlineMath ili equation tagove.

Hvala, tako ima smisla da ovde [inlmath]\pi[/inlmath] ima svoju vrednost [inlmath]3,14[/inlmath].