MATEMANIJA

Pozdrav,

Kojom logikom se rešavaju zadaci ovog tipa?

Izračunati:
[dispmath]\frac{\sin 80^\circ-\cos110^\circ}{\cos 100^\circ+\cos 20^\circ}[/dispmath]

Na imenilac možeš odmah primeniti formulu za transformaciju zbira u proizvod. Da bi mogao da je primeniš i na brojilac, potrebno je da u brojiocu, prethodno, ili sinus izraziš preko kosinusa, ili kosinus preko sinusa (svejedno je šta ćeš od ta dva da uradiš), kako bi u brojiocu dobio ili dva kosinusa, ili dva sinusa, na koje, zatim, takođe možeš primeniti transformaciju u proizvod. U sledećem koraku biće još potrebno da [inlmath]\sin 50^\circ[/inlmath] izraziš preko kosinusa, kako bi došlo do skraćivanja... Videćeš već...

Rezultat je [inlmath]\sqrt 3[/inlmath].

Hvala ti, Daniele. Problem je što nisam ni znao da postoji ova formula

Evo kako sam krenuo sa rešavanjem:
[dispmath]\frac{\sin 80^\circ-\cos 110^\circ}{\cos 100^\circ+\cos 20^\circ}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt{1-(\cos80^\circ)^2}-\cos110^\circ}{2\cdot\cos\left({\frac{100+20}{2}}\right)^\circ\cdot\cos\left(\frac{100-20}{2}\right)^\circ}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt{1-(\cos80^\circ)^2}-\cos110^\circ}{2\cdot\cos60^\circ\cdot\cos40^\circ}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt{1-(\cos80^\circ)^2}-\cos110^\circ}{\cancel{2}\cdot\cancel{\frac{1}{2}}\cdot\cos40^\circ}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt{1-(\cos80^\circ)^2}-\cos110^\circ}{\cos40^\circ}[/dispmath]
Ne umem iz ovoga da se izvučem

Sorry, nisam bio dovoljno precizan... Kad sam rekao da sinus u brojiocu izraziš preko kosinusa, nisam mislio na [inlmath]\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}[/inlmath], već sam mislio na [inlmath]\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath].

Nema problema

Evo kako sam sad radio:
[dispmath]\frac{\sin80^\circ-\cos110^\circ}{\cos100^\circ+\cos20^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-80^\circ\right)-\cos110^\circ}{2\cdot\cos\left(\frac{120}{2}\right)^\circ\cdot\cos\left(\frac{80}{2}\right)^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{2\cdot\cos60^\circ\cdot\cos(-50^\circ)}{2\cdot\cos60^\circ\cdot\cos40^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{\cancel{2}\cdot\cancel{\frac{1}{2}}\cdot\cos(-50^\circ)}{\cancel{2}\cdot\cancel{\frac{1}{2}}\cdot\cos40^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{\cos50^\circ}{\cos40^\circ}[/dispmath]

Nisi dobro transformisao imenilac.
[dispmath]\sin(90^\circ-x)=\cos x[/dispmath]
Otuda je [inlmath]\sin80^\circ=\cos10^\circ[/inlmath]

I onda primeniš formulu za razliku kosinusa na imenilac:
[dispmath]\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath]

Hvala, Milovane, idemo još jednom:
[dispmath]\frac{\sin80^\circ-\cos110^\circ}{\cos100^\circ+\cos20^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-10\right)-\cos 110^\circ}{\cos100^\circ+\cos20^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{\cos10^\circ-\cos110^\circ}{2\cdot\cos\left(\frac{120}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{80}{2}\right)}[/dispmath][dispmath]\frac{-2\sin\left(\frac{120}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{-100}{2}\right)}{\cancel{2}\cdot\cancel{\frac{1}{2}}\cdot\cos40^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{-\cancel{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}\cdot\sin\left(-50^\circ\right)}{\cos40^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{-\left(-\sqrt3\cdot\sin50^\circ\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-50^\circ\right)}[/dispmath][dispmath]\frac{\sqrt3\cdot\cancel{\sin50^\circ}}{\cancel{\sin50^\circ}}[/dispmath][dispmath]\sqrt3[/dispmath]
Radio sam detaljno, ako nekome bude trebalo.

Hvala Daniele i Milovane, još jednom

Izvežbah LateX kucajući ovo