MATEMANIJA

Ako je [inlmath]\cos x+\cos y=a[/inlmath], [inlmath]\sin x+\sin y=b[/inlmath], [inlmath]a^2+b^2\ne 0[/inlmath], onda je [inlmath]\cos\left(x+y\right)[/inlmath] jednak?

[dispmath]\cos x+\cos y=a[/dispmath][dispmath]\sin x+\sin y=b[/dispmath][dispmath]a^2+b^2\ne 0[/dispmath][dispmath]\cos\left(x+y\right)=?[/dispmath]
Čim je navedeno da je [inlmath]a^2+b^2\ne 0[/inlmath], automatski su nam time sugerisali da je [inlmath]a^2+b^2[/inlmath], najverovatnije, u imeniocu.
Pa hajde onda prvo da izračunamo koliko je [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]:
[dispmath]a^2+b^2=\left(\cos x+\cos y\right)^2+\left(\sin x+\sin y\right)^2[/dispmath][dispmath]a^2+b^2=\cos^2 x+2\cos x\cos y+\cos^2 y+\sin^2 x+2\sin x\sin y+\sin^2 y[/dispmath][dispmath]a^2+b^2=\underbrace{\cos^2 x+\sin^2 x}_1+2\cos x\cos y+2\sin x\sin y+\underbrace{\cos^2 y+\sin^2 y}_1[/dispmath][dispmath]a^2+b^2=2+2\left(\cos x\cos y+\sin x\sin y\right)[/dispmath][dispmath]a^2+b^2=2+2\cos\left(x-y\right)[/dispmath][dispmath]a^2+b^2=2\left[1+\cos\left(x-y\right)\right][/dispmath]
Izračunaćemo sada i [inlmath]a^2-b^2[/inlmath]:
[dispmath]a^2-b^2=\left(\cos x+\cos y\right)^2-\left(\sin x+\sin y\right)^2[/dispmath][dispmath]a^2-b^2=\cos^2 x+2\cos x\cos y+\cos^2 y-\sin^2 x-2\sin x\sin y-\sin^2 y[/dispmath][dispmath]a^2-b^2=\cos^2 x-\sin^2 x+2\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y\right)+\cos^2 y-\sin^2 y[/dispmath][dispmath]a^2-b^2=\cos 2x+2\cos\left(x+y\right)+\cos 2y[/dispmath]
Primenimo sada formulu za transformaciju zbira u proizvod:
[dispmath]\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath]
[dispmath]\cos 2x+\cos 2y=2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2}=2\cos\left(x+y\right)\cos\left(x-y\right)[/dispmath]
pa to vraćamo u izraz za [inlmath]a^2-b^2[/inlmath]:
[dispmath]a^2-b^2=2\cos\left(x+y\right)\cos\left(x-y\right)+2\cos\left(x+y\right)[/dispmath][dispmath]a^2-b^2=2\cos\left(x+y\right)\left[\cos\left(x-y\right)+1\right][/dispmath]
Deobom izraza [inlmath]a^2-b^2[/inlmath] sa [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{2\cos\left(x+y\right)\left[\cos\left(x-y\right)+1\right]}{2\left[1+\cos\left(x-y\right)\right]}[/dispmath]
iz čega konačno dobijamo
[dispmath]\cos\left(x+y\right)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}[/dispmath]

Kad je tako neki zadatak jel uvek moram postaviti razlomak? kontam zasto je [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] (ove dvojke su kvadrati) u imeniocu, a zasto moram da radim razliku i da je stavljam u brojilac? Jel to neko pravilo za takav tip zadataka? Znam na kraju se lepo sve pokrati i dobije se [inlmath]\cos(x+y)[/inlmath], ali jel moze neko dodatno pojasnjenje, zasto bas tako? i hvala naravnooooo!

Iz zbira kvadriranih jednakosti si uspela da saznaš koliko je [inlmath]\cos(x-y)[/inlmath], a tebi se traži kosinus zbira. Dakle, od zbira kvadriranih jednakosti ne dobijaš dovoljno informacija da rešiš zadatak i zato nastavljaš da se igraš ovim formulama.

Iz razlike kvadriranih jednakosti dobijaš vezu između [inlmath]\cos(x-y)[/inlmath] i [inlmath]\cos(x+y)[/inlmath]. Ovo prvo si već izračunala, ostaje ti da vratiš dobijeni rezultat i rešiš jednačinu po [inlmath]\cos(x+y)[/inlmath].

Ne treba ništa da šteluješ kako bi se neki od ovih izraza našao u brojiocu ili imeniocu, samo se pokazuje da je izraze zgodno podeliti, ali ne moraš, kao što rekoh, sasvim je ok i da vratiš vrednost [inlmath]\cos(x-y)[/inlmath] izraženu preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] u izraz:
[dispmath]a^2-b^2=2\cos\left(x+y\right)\cos\left(x-y\right)+2\cos\left(x+y\right)[/dispmath]
I tako izračunaš [inlmath]\cos(x+y)[/inlmath].

[inlmath]cos2α=-63/65 [InlineMath]0<α<pi/2[/inlmath] cosβ=7/\sqrt 130 , 0<β<pi/2[/inlinemath] , tada je [inlmath]α + β[/inlmath] jednako:

Proizvod [inlmath](1-sin π/8)(1 + sin π/8)[/inlmath] jednak je:

Neka su alfa i beta ostri uglovi takvi da je [inlmath]tg-alfa=\sqrt 2 + 1 pa sve kroz \sqrt 2 - 1, tgbeta=1/ \sqrt 2[/inlmath] Razlika alfa-beta tih uglova je:

Da li može neki propratni komentar uz ove zadatke – na koji način si ih rešavao, do kog koraka u rešavanju si stigao, u čemu je nastao problem itd...?

I lepo je što se trudiš s Latex-om, ali ako može to ipak malo preglednije...

MOzes li da napises kako bi se uradio ovaj gore prvi zadatak da se nije stavljalo u odnos [inlmath]\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}[/inlmath]

Radim sad zadatak u kome se trazi da se izracuna [inlmath]\sin 2\alpha[/inlmath], ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] u drugoj kvadrantu. Dosao sam do dela [inlmath]\left(\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha+221\right)/\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=1996[/inlmath] sta dalje?

a ovako glasi teskt zadatka
[dispmath]\frac{1}{\mathrm{tg}^2\alpha}+\frac{1}{\mathrm{ctg}^2\alpha}+221\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}\right)=1996[/dispmath]

Gde sam pogresio? Resenje treba da bude [inlmath]2[/inlmath].

Već si dobio rešenje ovog zadnjeg zadatka ovde.

smAshh je napisao:Radim sad zadatak u kome se trazi da se izracuna [inlmath]\sin 2\alpha[/inlmath], ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] u drugoj kvadrantu. Dosao sam do dela [inlmath]\left(\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha+221\right)/\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=1996[/inlmath] sta dalje?

Nisam proveravao da li je ok to do čega si došao, ali, uz pretpostavku da jeste ( i da si greškom izostavio zagradu, te da je imenilac [inlmath]\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha[/inlmath]):
[dispmath]\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha+221}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
[dispmath]1+\frac{221}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
[dispmath]\frac{221}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}=1995[/dispmath]
[dispmath]{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}=\frac{221}{1995}[/dispmath]
Pa iskoristi da je [inlmath]2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha[/inlmath]

Moze li postupak do kraja ovog poslednjeg sto si napisao?

[dispmath]{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}=\frac{221}{1995}[/dispmath]
[dispmath]\frac{4}{4}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}=\frac{221}{1995}[/dispmath]
[dispmath]4{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}=\frac{884}{1995}[/dispmath]
[dispmath]\sin^2 2\alpha=\frac{884}{1995}[/dispmath]
Dalje možeš sam...

resenja treba da bude [inlmath]-\frac{2}{3}[/inlmath]? da li je moguce ili sam negde gresku napravio?

Pogrešno si dobio formulu[dispmath]\frac{\cos^2\alpha\sin^2\alpha+221}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
Evo postupka:
[dispmath]\frac{1}{\mathrm{tg}^2\alpha}+\frac{1}{\mathrm{ctg}^2\alpha}+221\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}\right)=1996[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+221\frac{\cancelto{1}{\enclose{circle}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}}}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}+\frac{\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}+\frac{221}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos^4\alpha+\sin^4\alpha+221}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
I to je formula koja liči na onu koju si ti dobio, ali ipak nije ista.
Idemo dalje:
[dispmath]\frac{\cancelto{1}{\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)^2}-2\cos^2\alpha\sin^2\alpha+221}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
[dispmath]\frac{222-2\cos^2\alpha\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1996[/dispmath]
[dispmath]\frac{222}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}-2=1996[/dispmath]
[dispmath]\frac{222}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1998[/dispmath]
[dispmath]\frac{111}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=999[/dispmath]
[dispmath]\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{1}{9}[/dispmath]
[dispmath]\sin\alpha\cos\alpha=\pm\frac{1}{3}[/dispmath]
[dispmath]2\sin\alpha\cos\alpha=\pm\frac{2}{3}[/dispmath]
[dispmath]\sin 2\alpha=\pm\frac{2}{3}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\alpha[/inlmath] u [inlmath]2.[/inlmath] kvadrantu, [inlmath]2\alpha[/inlmath] mora biti u [inlmath]3.[/inlmath] ili u [inlmath]4.[/inlmath] kvadratnu, a u oba slučaja sinus tog ugla mora bit negativan. Prema tome, usvajamo rešenje s minusom:
[dispmath]\enclose{box}{\sin 2\alpha=-\frac{2}{3}}[/dispmath]

Što se tiče zadatka
[dispmath]4\cos 2000^\circ-\frac{1}{\sin 1990^\circ}[/dispmath]
Milovan ti je dao link na kome ti je već rešen, a u svom postupku si napravio tri greške. Pogrešio si kada si napisao da je [inlmath]\sin 1990^\circ=\sin\left(4\cdot 360^\circ+100^\circ\right)[/inlmath], a zatim [inlmath]\sin\left(4\cdot 360^\circ+100^\circ\right)[/inlmath] takođe pogrešno napisao kao [inlmath]\sin\left(-100^\circ\right)[/inlmath].

Zatim si pogrešio kada si
[dispmath]-4\cos 20^\circ+\frac{1}{-\cos 10^\circ}[/dispmath]
pomnožio sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath]. Ovo nije jednačina. Jednačine smeš pomnožiti konstantom, tako što tom konstantom množiš i levu i desnu stranu, čime se ne narušava jednakost. Međutim, ovde je u pitanju izraz i njega ne smeš množiti konstantom, jer time menjaš njegovu vrednost.