MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 1. jul 2004.
8. zadatak

Zapelo..

Imam problem sa trigonometrijom, ne mogu razumeti kako se pronalaze odredjene vrednosti. Ovako, zadatak glasi:

U trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] su date stranice [inlmath]AB=3[/inlmath], [inlmath]AC=8[/inlmath] i ugao [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}[/inlmath]. Tada je stranica [inlmath]BC[/inlmath] jednaka?
[inlmath]A)\;6,\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;8,\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;12,\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;5,\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;7[/inlmath]

Ja sam to poceo raditi preko kosinusne teoreme:
[dispmath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/dispmath] Mozda ni ne idem ka resenju, ali dobije se:
[dispmath]a^2=73-48\cos\frac{\pi}{3}[/dispmath] Kako izracunati vrednost kosinusa i resiti to?

Upravo se tako i radi i, uopšte, kad god su ti date dve stranice i jedan ugao trougla a traži se da odrediš i treću stranicu, to po pravilu ideš preko kosinusne teoreme.

Zapravo si skoro sve već uradio. Ostalo ti je samo da [inlmath]\cos\frac{\pi}{3}[/inlmath] zameniš njegovom vrednošću, za koju se pretpostavlja da je znaš napamet.

Uglovi [inlmath]0,\:\frac{\pi}{6},\:\frac{\pi}{4},\:\frac{\pi}{3},\:\frac{\pi}{2}[/inlmath] spadaju u karakteristične uglove, za koje treba da znate napamet (ili da umete da očitate s trigonometrijskog kruga) vrednosti njihovih osnovnih trigonometrijskih funkcija – sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. U ovoj temi, između ostalog, imaš tablično navedene i vrednosti svih trigonometrijskih funkcija za sve te karakteristične uglove – i, među njima, vrednost i za [inlmath]\cos\frac{\pi}{3}[/inlmath], koja ti je u ovom zadatku potrebna.

---

Inače i bez pamćenja svih tih vrednosti, trigonometrijske funkcije uglova [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] možeš lako odrediti tako što jednakostranični trougao podeliš na dve jednake polovine, kao na slici.


Svaka polovina biće jedan pravougli trougao, s uglovima [inlmath]30^\circ[/inlmath] i [inlmath]60^\circ[/inlmath] (tj. [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath]) – trouglovi isti kao i oni školski trouglasti lenjiri. E sad, znajući da je duž kojom si ovaj jednakostranični trougao podelio na dve jednake polovine, zapravo, visina tog jednakostraničnog trougla, koja iznosi [inlmath]\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath], a takođe znajući da je kosinus ugla jednak odnosu nalegle katete i hipotenuze, možeš odatle lako izračunati čemu su jednaki [inlmath]\cos\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{\pi}{3}[/inlmath]. Na sličan način se mogu naći i njihovi sinusi, tangensi, kotangensi.