MATEMANIJA

Kako bi se odredio minimum [inlmath]f(x)=\sin x-\cos^2 x-1[/inlmath]

Kod te funkcije se minimumi (kao i maksimumi) beskonačno mnogo puta ponavljaju, budući da se radi o periodičnoj funkciji.
Da li se traži da se odrede svi lokalni minimumi, ili se samo traži da se odredi kolika je minimalna vrednost te funkcije na celom intervalu realnih brojeva?
Gde si naišao na taj zadatak i kako doslovce glasi tekst?

Glasi: MInimalna vrednost f-je [inlmath]f(x)=\sin x-\cos^2x-1[/inlmath] je:

Da, onda se ne misli na lokalne minimume, već na minimalnu vrednost koju ta funkcija može imati.
Kako bismo sve izrazili preko sinusa, funkciju možemo napisati kao[dispmath]f\left(x\right)=\sin x-\left(1-\sin^2 x\right)-1[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=\sin^2 x+\sin x-2[/dispmath]i, vodeći računa o tome da [inlmath]\sin x\in\left[-1,1\right][/inlmath], možemo uvesti smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath], tako da [inlmath]t\in\left[-1,1\right][/inlmath]:[dispmath]t^2+t-2=0,\quad t\in\left[-1,1\right][/dispmath]Vidimo da je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, prema tome, funkcija ima minimum. Ali, sada ne smemo odmah primenjivati formulu za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije, već moramo prvo da se uverimo da će [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena zaista pripadati posmatranom opsegu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]. U slučaju da ne pripada, onda teme kvadratne funkcije neće biti onaj minimum koji se u zadatku traži.[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}[/dispmath]a pošto [inlmath]-\frac{1}{2}\in\left[-1,1\right][/inlmath], minimalna vrednost date funkcije biće jednaka [inlmath]y[/inlmath]-koordinati temena ove kvadratne funkcije. Možemo ga sada naći ili tako što ćemo [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] uvrstiti u [inlmath]t^2+t-2[/inlmath], ili direktno primeniti formulu [inlmath]\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath], na oba načina se dobije da je minimalna vrednost date funkcije jednaka [inlmath]-\frac{9}{4}[/inlmath].

Najmanja vrednost f-je [inlmath]f(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] je:

Primetimo sledeće:
[dispmath]f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)[/dispmath][dispmath]=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)[/dispmath]
Minimalna vrednost sinusa je [inlmath]-1[/inlmath], pa je minimalna vrednost funkcije [inlmath]-\sqrt{2}[/inlmath]

Milovan je napisao:[dispmath]f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)[/dispmath][dispmath]=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)[/dispmath]

Moze li ovo da se pojasni?

Baš sam noćas u ovom postu pisao o tome kako se taj izraz u opštem obliku [inlmath]A\sin x+B\cos x[/inlmath] transformiše, pa možeš i to pogledati...

Ali ovde je kut neodređen?

I u izrazu [inlmath]A\sin x+B\cos x[/inlmath] ugao je neodređen.