MATEMANIJA

Zadatak 8.

[dispmath]\cos 2x>\cos x,\phantom{33}x\in\left[0,2\pi\right)\\[2em]
\cos^2x-\sin^2x-\cos x>0\\
\cos^2x-1+\cos^2x-\cos x>0\\
2\cos^2x-\cos x-1>0\\[1em]
t=\cos x\\[1em]\\
2t^2-t-1>0\\[2em]
t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}\phantom{33}\Longrightarrow\phantom{33}t_1=1,\:t_2=-\frac{1}{2}\\[2em]
\cos x=1\phantom{33}\Longrightarrow\phantom{33}\enclose{box}{x_1=2k\pi}\\
\cos x=-\frac{1}{2}\phantom{33}\Longrightarrow\phantom{33}\enclose{box}{x_2=\frac{2\pi}{3}+2k\pi}\phantom{33}\land\phantom{33}\enclose{box}{x_3=\frac{4\pi}{3}+2k\pi}\\[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\\
k & 0 & 1 & 2\\[1em]\hline
2k\pi & 0\\[1em]\hline
\frac{2\pi}{3}+2k\pi & \frac{2\pi}{3}\\[1em]\hline
\frac{4\pi}{3}+2k\pi & \frac{4\pi}{3}\\
& \\ \hline
\end{array}[/dispmath]

Prazne su ćelije onih vrednosti koje ne ispunjavaju uslov [inlmath][0,2\pi)[/inlmath].

Ovaj korak bi završio posao da se radi o jednačini, ali kako se sad ovo uklapa u nejednačinu? Nula se odbacuje, je l' tako (ne odgovara početnoj nejednačini)?

P.S. Kako da zatvorim od gore ovu tabelu?

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Ne treba ti tabela. Čim si dobio rešenja kvadratne jednačine [inlmath]t_1=-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]t_2=1[/inlmath] (nekako mi je lepše da prvo pišem manje pa zatim veće rešenje ), odmah pišeš
[dispmath]t<t_1\quad\lor\quad t>t_2\\
t<-\frac{1}{2}\quad\lor\quad t>1[/dispmath]
a pošto je [inlmath]t=\cos x[/inlmath], pa samim tim mora biti zadovoljeno [inlmath]-1\le t\le 1[/inlmath], rezultat se svodi na
[dispmath]-1\le t<-\frac{1}{2}\\
-1\le\cos x<-\frac{1}{2},\quad x\in\left[0,2\pi\right)\\
\enclose{box}{\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}}[/dispmath]

---

Napisao bih još jedan način, možda malo komplikovaniji, ali za vežbu ne škodi.
[dispmath]\cos 2x>\cos x\\
\cos 2x-\cos x>0[/dispmath]
Primenimo transformaciju razlike u proizvod:
[dispmath]-2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}>0\\
\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}<0\\
\left(\sin\frac{3x}{2}>0\;\land\;\sin\frac{x}{2}<0\right)\;\lor\;\left(\sin\frac{3x}{2}<0\;\land\;\sin\frac{x}{2}>0\right)[/dispmath][dispmath]\left(2k\pi<\frac{3x}{2}<\pi+2k\pi\;\land\;\pi+2k\pi<\frac{x}{2}<2\pi+2k\pi\right)\;\lor\;\left(\pi+2k\pi<\frac{3x}{2}<2\pi+2k\pi\;\land\;2k\pi<\frac{x}{2}<\pi+2k\pi\right)[/dispmath][dispmath]\left(\frac{4k\pi}{3}<x<\frac{2\pi}{3}+\frac{4k\pi}{3}\;\land\;2\pi+4k\pi<x<4\pi+4k\pi\right)\;\lor\;\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{4k\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}+\frac{4k\pi}{3}\;\land\;4k\pi<x<2\pi+4k\pi\right)[/dispmath]
Pošto [inlmath]x\in\left[0,2\pi\right)[/inlmath],
[dispmath]\cancelto{\bot}{\left[\left(0<x<\frac{2\pi}{3}\;\lor\;\frac{4\pi}{3}<x<2\pi\right)\;\land\;\bot\right]}\;\lor\left(\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}\;\land\;\cancelto{\top}{0<x<2\pi}\right)\\
\bot\;\lor\;\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}\\
\enclose{box}{\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}}[/dispmath]

stevan95 je napisao:P.S. Kako da zatvorim od gore ovu tabelu?

Samo treba da dodaš jedno \hline i na kraju „nultog“ reda, tj. odmah posle {|c|c|c|c|c|}. Evo, korigovaću to sad.