MATEMANIJA

Primer 28.

[dispmath]\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)=1-\sin x,\phantom{33}\mbox{uslov}\;\rightarrow\;\left|\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}\right|\le\frac{3\pi}{4}[/dispmath]
U rešenju piše sledeće:

Dati uslov je ekvivalentan uslovu [inlmath]\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{5\pi}{2}[/inlmath].

---

E, sad... ne znam, probao sam da radim šta mi padne na pamet i uklapa se:

Uzmimo da je [inlmath]\frac{x}{2}\ge\frac{\pi}{2}[/inlmath](*) u tom slučaju uslov prelazi u [inlmath]\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}\le\frac{3\pi}{4}[/inlmath], pa onda kad sredimo to:
[dispmath]\frac{x}{2}\le\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\phantom{33}\Longrightarrow\phantom{33}\frac{x}{2}\le\frac{5\pi}{4}\;/\cdot 2\phantom{33}\Longrightarrow\phantom{33}x\le\frac{5\pi}{2}[/dispmath]
Uključimo onaj prvi uslov (*):
[dispmath]\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{5\pi}{2}[/dispmath]
Ovo mi se čini tačnim, ali ima li nekakve veze druga moguća pretpostavka, a to je da je [inlmath]\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}[/inlmath]?

---

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Naravno da moraš raditi za oba slučaja – i za [inlmath]\frac{x}{2}\ge\frac{\pi}{2}[/inlmath] i za [inlmath]\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}[/inlmath] i da na kraju nađeš uniju tih rešenja.

Kod njih je greška, tj. izostavljen je minus. Uslov [inlmath]\left|\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}\right|\le\frac{3\pi}{4}[/inlmath] ekvivalentan je uslovu [inlmath]{\color{red}-}\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{5\pi}{2}[/inlmath].

Dobro, hvala, evo da dovršim određivanje uslova...

---

Dakle, drugi slučaj [inlmath]\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\le\frac{3\pi}{4}\\
-\frac{x}{2}\le\frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{4}\;/\cdot (-2)\\
x\ge -\frac{\pi}{2}[/dispmath]
Dakle, ovaj drugi uslov je:
[dispmath]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/dispmath]
A unija sa prvim uslovom [inlmath]x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right][/inlmath] daje:
[dispmath]\enclose{box}{x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right]}[/dispmath]

stevan95 je napisao:Dakle, ovaj drugi uslov je:
[dispmath]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{\color{red}2}\right)[/dispmath]

Zapravo, drugi slučaj daje rešenja [inlmath]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right)[/inlmath].

Ali, to nema uticaja na konačan rezultat. Sve ostalo je OK.

Inače, nemoj da te zbuni ako se u nekom od zadataka i bude desilo da već kao rešenja prvog slučaja dobiješ onaj skup rešenja koji odgovara konačnom. Moguće je da nekada skup rešenja drugog slučaja bude podskup skupa rešenja prvog slučaja, pa je tada konačan skup rešenja jednak skupu rešenja prvog slučaja.