Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Zadatak sa trocifrenim brojevima

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Zadatak sa trocifrenim brojevima

Postod StefanV19 » Ponedeljak, 29. Maj 2023, 12:24

Pozdrav svima, imam problem oko dva zadataka.

1. Zadatak: Trocifrenih prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]4[/inlmath] kod kojih su cifre različiti elementi skupa [inlmath]\{0,1,2,3,4,5\}[/inlmath] ima:

Tačan odgovor je: [inlmath]40[/inlmath].

Tu sam radio tako što sam gledao koje dve poslednje cifre su deljive sa [inlmath]4[/inlmath] a da imaju nulu. I tu sam nabrojao: [inlmath]\{04,20,40\}[/inlmath].
I onda za prvu cifru možemo uzeti jednu od [inlmath]4[/inlmath] preostalih cifara i dobijemo: [inlmath]4\cdot3=12[/inlmath].

Onda sam u drugom delu gledao poslednje dve cifre deljive sa [inlmath]4[/inlmath] bez nule: [inlmath]\{12,24,32,44,52\}[/inlmath].
I tu sam racunao za prvu cifru da se može uzeti jedna od tri preostale cifre ili: [inlmath]5\cdot3=15[/inlmath].

I na kraju dobijem ukupno [inlmath]27[/inlmath] gde grešim.



2. Zadatak: Trocifrenih prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]3[/inlmath] kod kojih su sve cifre različite ima:

Tačan odgovor je: [inlmath]160[/inlmath].

Radio sam na sličan način kao prvi ali mi nije išlo.

Ako mi možete ukazati na grešku u prvom pa mislim da ću onda razumeti i kako ovaj drugi da uradim. Hvala unapred.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Zadatak sa trocifrenim brojevima

Postod Daniel » Ponedeljak, 29. Maj 2023, 15:58

StefanV19 je napisao:Tačan odgovor je: [inlmath]40[/inlmath].

Ne, tačan odgovor je [inlmath]24[/inlmath].

StefanV19 je napisao:Onda sam u drugom delu gledao poslednje dve cifre deljive sa [inlmath]4[/inlmath] bez nule: [inlmath]\{12,24,32,{\color{red}44},52\}[/inlmath].

Uslov zadatka je da su sve cifre različite.



Pokazao bih još jedan način rešavanja – mada je i tvoj način podjednako dobar, štaviše i elegantniji, ali što više načina, to bolje – a i time se potvrđuje tačnost dobijenog rezultata.
  • Broj počinje cifrom [inlmath]2[/inlmath]:
    Druga cifra ne može biti neparna jer bi tada treća cifra morala biti [inlmath]2[/inlmath], a ona je već iskorišćena. Dakle, za drugo mesto ostaju [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath]. Ako je na drugom mestu [inlmath]0[/inlmath], na trećem mora biti [inlmath]4[/inlmath]. I obratno. Znači, broj mogućnosti je [inlmath]2[/inlmath].
  • Broj počinje cifrom [inlmath]4[/inlmath]:
    Druga cifra ne može biti [inlmath]0[/inlmath], jer bi tada treća morala biti [inlmath]4[/inlmath], a ona je već iskorišćena.
    Ako je druga cifra [inlmath]2[/inlmath], treća mora biti [inlmath]0[/inlmath] – jedna mogućnost.
    Ako je druga cifra [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath], treća mora biti [inlmath]2[/inlmath] – tri mogućnosti.
    Ukupan broj mogućnosti za ovaj slučaj je [inlmath]1+3=4[/inlmath].
  • Broj počinje cifrom [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath]:
    Ako je druga cifra [inlmath]2[/inlmath], treća može biti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath] – dve mogućnosti.
    Ako je druga cifra [inlmath]0[/inlmath], treća mora biti [inlmath]4[/inlmath], i obratno – dve mogućnosti.
    Ako je druga cifra neka od preostalih neparnih koja nije na prvom mestu, tada treća cifra mora biti [inlmath]2[/inlmath] – dve mogućnosti.
    Ukupan broj mogućnosti za ovaj slučaj je, pomnoženo sa [inlmath]3[/inlmath] kao brojem mogućnosti za prvu cifru: [inlmath]3(2+2+2)=18[/inlmath].
Ukupno [inlmath]2+4+18=24[/inlmath] mogućnosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9285
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5128 puta
Pohvaljen: 4939 puta

  • +1

Re: Zadatak sa trocifrenim brojevima

Postod Daniel » Utorak, 30. Maj 2023, 07:48

StefanV19 je napisao:2. Zadatak: Trocifrenih prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]3[/inlmath] kod kojih su sve cifre različite ima:

Tačan odgovor je: [inlmath]160[/inlmath].

A i ovo rešenje je pogrešno. Treba da se dobije [inlmath]228[/inlmath].
Sme li se znati koja je zbirka u pitanju, kad su od dva priložena rezultata, oba pogrešna?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9285
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5128 puta
Pohvaljen: 4939 puta

Re: Zadatak sa trocifrenim brojevima

Postod StefanV19 » Utorak, 30. Maj 2023, 20:41

U pitanju su zadaci sa sajta: https://mirjanaradovicsg.files.wordpres ... torika.pdf.
Nisu sva resenja pogrešna, ali ima grešaka u rešenjima.

Da li mi možete objasniti kako se rešava drugi zadatak kada su brojevi različiti i deljivi sa tri.
Razumeo sam deljive sa [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], pokušavao sam ovaj drugi, ali nisam dobio nijedno od traženih rešenja, Radio sam na sličan način kao prvi zadatak i dobio sam [inlmath]216[/inlmath].

A ponuđena rešenja u tom drugom zadatku su:
[inlmath]A)\;193\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;184\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;166\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;152\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{E)\;160}[/inlmath]
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Zadatak sa trocifrenim brojevima

Postod Daniel » Sreda, 31. Maj 2023, 13:27

Video sam da ima još nekih pogrešnih rešenja. A šteta, zanimljivi su zadaci.

Ovo s brojevima deljivim sa [inlmath]3[/inlmath] možeš takođe raditi tako što razdvojiš slučajeve kad se nula pojavljuje i kad se nula ne pojavljuje.

Nula se ne pojavljuje:
Broj će biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] u sledećim slučajevima:
  • Sve cifre su oblika [inlmath]3k[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Prvu cifru možemo odabrati na [inlmath]3[/inlmath] načina, za drugu nam preostaje [inlmath]2[/inlmath] mogućnosti, i za treću cifru jedna mogućnost – to je ukupno [inlmath]3\cdot2=6[/inlmath] mogućnosti (isto smo mogli zaključiti ako znamo da se među ciframa od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] nalaze [inlmath]3[/inlmath] cifre oblika [inlmath]3k[/inlmath], pa tražimo njihove permutacije).
  • Sve cifre su oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Potpuno istim rezonom dobija se [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
  • Sve cifre su oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Potpuno istim rezonom dobija se [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
  • Cifre su oblika [inlmath]3k[/inlmath], [inlmath]3k+1[/inlmath] i [inlmath]3k+2[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Za prvu cifru biramo bilo koju ([inlmath]9[/inlmath] mogućnosti), za drugu nam preostaje [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti i za treću preostaje [inlmath]3[/inlmath] mogućnosti – ukupno [inlmath]9\cdot6\cdot3=162[/inlmath] mogućnosti.
To je ukupno [inlmath]6+6+6+162=180[/inlmath] mogućnosti za ovaj slučaj.

Nula se pojavljuje (na drugoj ili na trećoj poziciji):
  • Obe nenulte cifre su oblika [inlmath]3k[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Prvu nenultnu cifru možemo odabrati na [inlmath]3[/inlmath] načina, a za drugu nam preostaje [inlmath]2[/inlmath] načina, što predstavlja [inlmath]3\cdot2=6[/inlmath] mogućnosti.
  • Jedna nenulta cifra je oblika [inlmath]3k+1[/inlmath], a druga oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath]: Prvu nenultu cifru možemo odabrati na [inlmath]6[/inlmath] načina (jer biramo bilo koju koja nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]), a drugu na [inlmath]3[/inlmath] načina, što predstavlja [inlmath]18[/inlmath] mogućnosti.
Ovaj zbir ([inlmath]6+18[/inlmath]) treba još pomnožiti sa [inlmath]2[/inlmath], jer se nula može pojaviti ili na drugoj ili na trećoj poziciji. Time se dobija [inlmath]48[/inlmath] mogućnosti.

Ukupan broj mogućnosti je, dakle, [inlmath]180+48=228[/inlmath] mogućnosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9285
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5128 puta
Pohvaljen: 4939 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 03. Decembar 2023, 08:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs