Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Broj različitih petocifrenih brojeva – prijemni FON 2004.

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Broj različitih petocifrenih brojeva – prijemni FON 2004.

Postod Miloš » Ponedeljak, 10. Jun 2024, 18:06

Prijemni ispit FON – 30. jun 2004.
19. zadatak


Različitih petocifrenih brojeva koji imaju tačno dve različite cifre ima:
Tacan odgovor je pod [inlmath]A)\;1215[/inlmath]

Sve sam pokušao i nikako da dođem do rešenja, bio sam i određivao mogućnosti da se pojave brojevi samo u poretku [inlmath]10000[/inlmath], [inlmath]20000[/inlmath], itd, sve uslove koji su mi pali napamet i ništa.
Miloš  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj različitih petocifrenih brojeva – prijemni FON 2004.

Postod jans » Utorak, 11. Jun 2024, 00:37

Pošto u broju cifra nula ne može da bude na prvoj poziciji (broj ne bi bio petocifren) razbijemo skup traženih brojeva na dva disjunktna podskupa. U jednom će biti brojevi u kojima se nula ne pojavljuje, a u drugom oni koji imaju nulu. Kad izračunamo koliko elemenata ima u tim skupovima, traženi rezultat ćemo dobiti sabiranjem tih kardinalnih brojeva.
Ako se nula ne pojavljuje, koristićemo tačno dve cifre iz skupa [inlmath]S=\{1,2,3,\ldots,8,9\}[/inlmath]. Te dve cifre možemo iz skupa [inlmath]S[/inlmath] odabrati na [inlmath]9\choose2[/inlmath] načina. Treba još izračunati koliko svaka od tih kombinacija generiše petocifrenih brojeva. Pošto broj mora da sadrži obe cifre, svaka od njih mora da se pojavi bar jednom, a najviše četiri puta (zajedno pet), pa imamo sledeće mogućnosti [inlmath]\{c_1,c_2,c_2,c_2,c_2\}[/inlmath], [inlmath]\{c_1,c_1,c_2,c_2,c_2\}[/inlmath], [inlmath]\{c_1,c_1,c_1,c_2,c_2\}[/inlmath], [inlmath]\{c_1,c_1,c_1,c_1,c_2\}[/inlmath]. Koliko brojeva možemo dobiti razmeštanjem cifara u svakoj od mogućnosti računamo koristeći permutacije sa ponavljanjem....
Ako se nula pojavljuje, osim nje ćemo koristiti još jednu cifru iz skupa [inlmath]S[/inlmath] koju možemo odabrati na [inlmath]9[/inlmath] načina. Dalje postupamo slično kao u prethodnom slučaju. Razlika je u tome što na prvoj poziciji mora da bude odabrana cifra iz [inlmath]S[/inlmath] a ne nula (da bi broj bio petocifren). A za preostale četiri pozicije imamo sledeće kombinacije cifara [inlmath]\{0,0,0,0\}[/inlmath], [inlmath]\{0,0,0,c\}[/inlmath], [inlmath]\{0,0,c,c\}[/inlmath], [inlmath]\{0,c,c,c\}[/inlmath]....
jans  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 43 puta

Re: Broj različitih petocifrenih brojeva – prijemni FON 2004.

Postod Daniel » Četvrtak, 13. Jun 2024, 01:51

Način s permutacijama s ponavljanjem je sasvim OK, mada bih ja prednost dao načinu preko varijacija s ponavljanjem.
  • Ako se nula ne pojavljuje, nakon što na neki od [inlmath]9\choose2[/inlmath] načina odaberemo dve nenulte cifre, broj načina na koje te dve cifre raspoređujemo na [inlmath]5[/inlmath] pozicija iznosi [inlmath]\overline V_2^5=2^5[/inlmath]. Od toga sad treba oduzeti slučaj kod kojeg je jedna od te dve cifre na svih [inlmath]5[/inlmath] pozicija, kao i slučaj kod kojeg je druga od te dve cifre na svih [inlmath]5[/inlmath] pozicija. Znači, [inlmath]2^5-2=30[/inlmath].
  • Slično i za slučaj kada se nula pojavljuje, samo što ovde od broja varijacija s ponavljanjem treba oduzeti samo jedan slučaj (kada je ona nenulta cifra na svih [inlmath]5[/inlmath] pozicija).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5172 puta
Pohvaljen: 4956 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 22. Jun 2024, 12:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs