Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Izbor cipela iz ormana

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Re: Izbor cipela iz ormana

Postod jovica » Petak, 04. Jul 2014, 01:50

ne mogu da povezem nikako zasto se oduzimalo br. kombinacija od [inlmath]10[/inlmath] elemenata druge klase na kraju? cini mi se kao da na taj način otpisujem sve kombinaciije u kojim imamo dva para izvuceno, a u zadatku kaze da treba da bude najmanje jedan par, :unsure:
Daniel je napisao:Međutim, pošto smo na ovaj način dvaput računali svako izvlačenje u kojem smo izvukli dva para istih, sada je potrebno od ovog broja načina oduzeti broj načina na koji možemo izvući dva para istih.
, ovaj deo ..
jovica  OFFLINE
 
Postovi: 126
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Izbor cipela iz ormana

Postod Daniel » Subota, 05. Jul 2014, 01:30

Radi manje pisanja, pokazaću ti to na primeru s [inlmath]4[/inlmath] para cipela, jer princip je isti...

Znači, imamo cipele obeležene sa [inlmath]A,A,B,B,C,C,D,D[/inlmath].

Broj načina na koji možemo izvuči jedan par istih cipela je [inlmath]4[/inlmath] (u originalnom zadatku je [inlmath]10[/inlmath], jer smo u njemu imali [inlmath]10[/inlmath] pari cipela). To su sledeći načini: [inlmath]AA[/inlmath], [inlmath]BB[/inlmath], [inlmath]CC[/inlmath] ili [inlmath]DD[/inlmath]. Nakon toga izabiramo bilo koje dve od preostalih cipela.

Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]AA[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
AABB & AABC & AABD & AACC & AACD & AADD
\end{array}[/dispmath] Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]BB[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
BBAA & BBAC & BBAD & BBCC & BBCD & BBDD
\end{array}[/dispmath] Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]CC[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
CCAA & CCAB & CCAD & CCBB & CCBD & CCDD
\end{array}[/dispmath] Ako je prvobitno bio izvučen par [inlmath]DD[/inlmath], imamo sledeće moguće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{llllll}
DDAA & DDAB & DDAC & DDBB & DDBC & DDCC
\end{array}[/dispmath] Možemo primetiti da je svaki od slučajeva u kojima se pojavljuju dva para obuhvaćen dvaput:
  • slučaj [inlmath]AABB[/inlmath] je obuhvaćen onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]AA[/inlmath], ali je obuhvaćen i onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]BB[/inlmath] (u ovom drugom slučaju je zapisan kao [inlmath]BBAA[/inlmath], ali to je isto kao i [inlmath]AABB[/inlmath]);
  • slučaj [inlmath]AACC[/inlmath] je obuhvaćen onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]AA[/inlmath], ali je obuhvaćen i onda kada je prvi izvučeni par bio [inlmath]CC[/inlmath] (u ovom drugom slučaju je zapisan kao [inlmath]CCAA[/inlmath], ali to je isto kao i [inlmath]AACC[/inlmath]);
  • itd...
Pošto je, dakle, svaki od slučajeva u kojima se pojavljuju dva para obuhvaćen dvaput umesto jednom, da bismo dobili ispravan rezultat neophodno je da oduzmemo broj tih suvišno obuhvaćenih slučajeva, a njihov broj iznosi [inlmath]4\choose 2[/inlmath], tj. [inlmath]6[/inlmath] (u originalnom zadatku iznosi [inlmath]10\choose 2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 9324
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5175 puta
Pohvaljen: 4962 puta

Re: Izbor cipela iz ormana

Postod Dzenan » Subota, 05. Jul 2014, 02:47

Ja bih to uradio ovako,
[inlmath]10\choose 2[/inlmath] - broj mogućnosti da izvučemo par istih cipela, onda nam kao izbor ostaje još [inlmath]18[/inlmath] cipela, pomnožimo sa [inlmath]18[/inlmath] i imamo broj mogućnosti za tri cipele i onda za četvrtu pomnožimo sa [inlmath]16[/inlmath], sa [inlmath]17[/inlmath] ne možemo jer bi mogli da imamo 2 para istih cipela. Gde grešim?
Dzenan  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Izbor cipela iz ormana

Postod Daniel » Subota, 05. Jul 2014, 17:19

Dzenan je napisao:[inlmath]10\choose 2[/inlmath] - broj mogućnosti da izvučemo par istih cipela,

Pa, ne, broj mogućnosti da izvučemo par istih cipela nije [inlmath]10\choose 2[/inlmath], već [inlmath]10\choose 1[/inlmath], tj. [inlmath]10[/inlmath]. Pošto treba da izvučemo jedan par, tada svaki od parova posmatramo kao jedan element tog skupa. Takvih elemenata ima [inlmath]10[/inlmath], a mi, znači, biramo jedan od njih.

Dzenan je napisao:onda nam kao izbor ostaje još [inlmath]18[/inlmath] cipela, pomnožimo sa [inlmath]18[/inlmath] i imamo broj mogućnosti za tri cipele i onda za četvrtu pomnožimo sa [inlmath]16[/inlmath], sa [inlmath]17[/inlmath] ne možemo jer bi mogli da imamo 2 para istih cipela.

U zadatku je upravo i dozvoljeno da imamo dva para istih cipela. Pošto pitanje u zadatku glasi „Na koliko nacina mozemo izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da medju izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?“ to znači da se traži da među izabranim cipelama bude ili jedan par, ili dva para.

Ali, svejedno, čak i kad bismo radili po rezonu koji si napisao, uz ove ispravke, tj. kada bismo [inlmath]10[/inlmath] (broj načina da izaberemo jedan par) pomnožili sa [inlmath]18[/inlmath] (broj načina da izaberemo treću cipelu od bilo kojih preostalih), pa to opet pomnožili sa [inlmath]17[/inlmath] (broj načina da izaberemo četvrtu cipelu od bilo kojih preostalih) – neke od mogućnosti izbora bismo time obuhvatili više puta. Npr. ako bismo pretpostavili da je prvi izvučeni par cipela [inlmath]8L[/inlmath] i [inlmath]8R[/inlmath] (sufiksi [inlmath]L[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath] označavaju levu i desnu), tada bi jedna od mogućnosti izbora treće bio [inlmath]4L[/inlmath], a četvrte [inlmath]9L[/inlmath], pa bi to bio izbor [inlmath]8L\:8R\:4L\:9L[/inlmath]. Međutim, pri takvom izboru prvog para ([inlmath]8L\:8R[/inlmath]) postojala bi i mogućnost da izbor treće bude [inlmath]9L[/inlmath], a ispod četvrte [inlmath]4L[/inlmath], pa bi to bio izbor [inlmath]8L\:8R\:9L\:4L[/inlmath], što bi bilo identično prethodnom slučaju. Znači, na ovaj način koji si predložio, za svaki izabrani par cipela, svaku od mogućnosti izbora preostale dve cipele računali bismo dvaput. Zato bi, umesto [inlmath]10\cdot 18\cdot 17[/inlmath] trebalo pisati [inlmath]10\cdot{18\choose 2}[/inlmath], jer od preostalih [inlmath]18[/inlmath] cipela biramo bilo koje dve, pri čemu nije bitan redosled njihovog odabira – kombinacije bez ponavljanja. Ali, i na ovaj način bismo dvaput računali svaki od slučajeva u kojem se u izboru pojavljuju dva para (što sam upravo i obrazložio u svom prethodnom postu). Zbog toga od ovako dobijenog broja treba još oduzeti broj slučajeva u kojima se pojavljuju dva para, a broj takvih slučajeva je [inlmath]10\choose 2[/inlmath]. Dakle, [inlmath]10\cdot{18\choose 2}-{10\choose 2}[/inlmath]. Što se upravo i svodi na ono rešenje koje sam pokazao u ovom postu.

(Kako ne bi bilo zabune, u svom prethodnom postu sam, radi jednostavnosti, i levu i desnu cipelu istog para tretirao kao jednake elemente – iako to u ovom zadatku ne bi trebalo tako da se radi – jer mi je bilo bitno samo da objasnim udvajanje slučajeva s dva izabrana para.)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 9324
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5175 puta
Pohvaljen: 4962 puta

Izaberi četiri cipele

Postod Nikolinaa » Ponedeljak, 25. April 2016, 17:09

* MOD EDIT * Spojene dve teme s vrlo sličnim zadacima


U ormanu se nalazi [inlmath]12[/inlmath] pari cipela. Na koliko načina možeš izabrati [inlmath]4[/inlmath] cipele tako da među izabranim cipelama bude bar jedan par iste vrste?

Rješenje: Prvi slučaj je da uzmem od [inlmath]12[/inlmath] pari cipela [inlmath]2[/inlmath] para cipela tj.
[dispmath]12\choose2[/dispmath] Drugi slučaj je da uzmem jedan par od [inlmath]12[/inlmath] pa da od preostalih uzmem jedan par. E sad mene tu buni zašto se piše ovako
[dispmath]{12\choose1}\cdot{11\choose2}\cdot2^2[/dispmath] Na kraju je ukupan broj načina zbir ova dva slučaja ali meni nije jasan drugi slučaj.
Zbog čega je ovo na kraju [dispmath]2^2[/dispmath]
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Izaberi četiri cipele

Postod Daniel » Ponedeljak, 25. April 2016, 18:47

Činilac [inlmath]2^2[/inlmath] potiče od toga što se dve cipele unutar svakog para međusobno razlikuju (jedna je leva, a druga je desna, je li).

Dakle, prvo odabiramo dve iz istog para tako što odaberemo taj jedan od ukupno [inlmath]12[/inlmath] parova, što možemo učiniti na [inlmath]12\choose1[/inlmath] načina. To je, pretpostavljam, jasno.

Zatim preostale dve odabiramo tako da obe budu iz različitih parova. Dakle, prvo od preostalih [inlmath]11[/inlmath] parova odaberemo [inlmath]2[/inlmath] para ([inlmath]11\choose2[/inlmath] mogućnosti), zatim iz jednog od ta dva odabrana para biramo ili levu ili desnu ([inlmath]2[/inlmath] mogućnosti) i iz drugog od ta dva para opet biramo ili levu ili desnu (takođe [inlmath]2[/inlmath] mogućnosti). Otuda taj činilac [inlmath]2^2[/inlmath].

Pogledaj i ovu temu, tu smo radili vrlo sličan zadatak na mnoštvo drugih načina (ali ne i na ovaj). Pošto su zadaci gotovo identični (s jedinom razlikom što tamo imamo [inlmath]10[/inlmath] parova a ovde [inlmath]12[/inlmath]), spojiću kasnije ove dve teme.
EDIT: Spojio.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 9324
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5175 puta
Pohvaljen: 4962 puta

Re: Izbor cipela iz ormana

Postod miki069 » Subota, 06. Jul 2024, 20:01

Zadatak je dosta dobar pa bih predložio težu verziju. U tom istom ormaru se nalazi deset pari cipela ([inlmath]10[/inlmath] levih I [inlmath]10[/inlmath] desnih). Neko je nasumično uzeo [inlmath]8[/inlmath] cipela. Koliko ima načina da kompletira tačno:
a) nula parova
b) jedan par
c) dva para
d) tri para
e) četiri para
miki069  OFFLINE
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 6 puta

Prethodna

Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 24. Jul 2024, 23:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs