MATEMANIJA

Zadatak 10.

Date su dve paralelne prave. Na jednoj od njih je [inlmath]10[/inlmath], a na drugoj [inlmath]12[/inlmath] različitih tačaka. Broj trouglova koje određuju ove tačke je?

---

Logika kojom sam rešavao:

U ponuđenim odgovorima vidim da se radi o kombinacijama, negde se množe, negde sabiraju. A meni je to donekle i jasno, jer zamišljam ovakvu sliku: uzmimo da prva i druga tačka na pravoj od [inlmath]12[/inlmath] tačaka predstavljaju osnovicu trougla. Mi tada možemo napraviti deset trouglova (pošto te dve možemo spojiti sa svakom od onih deset na drugoj pravoj). Isto možemo uraditi i sa prvom i trećom.

Generalno, ta prva tačka može formirati osnovicu na [inlmath]11[/inlmath] načina, a za svaki od tih [inlmath]11[/inlmath] načina može formirati trougao na [inlmath]10[/inlmath] načina.

Prateći taj zaključak, ručno možemo da izračunamo za sve (samo što kada odaberemo drugu tačku, tada ne koristimo više prvu; kada odaberemo treću, tada više ne koristimo prvu i drugu, jer su one već jednom formirale trouglove sa njom).

Pretpostavljam da postupak treba ponoviti i za pravu od [inlmath]10[/inlmath] tačaka.

Ovo mi se čini logično i tačno, al' ne umem tu priču da pretočim u kombinacije. Može neka sugestija?

---

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Iz uslova zadatka sledi da jedna od stranica trougla mora da leži na nekoj od te dve prave. Trougao je dakle ovde određen sa bilo koje dve tačke sa prve prave i jednom tačkom sa druge prave. (i obrnuto)

Znači, na prvoj pravi možemo izdvojiti [inlmath]2[/inlmath] od [inlmath]10[/inlmath] tačaka na [inlmath]10\choose 2[/inlmath] načina. Treća tačka može biti bilo koja od preostalih [inlmath]12[/inlmath], i to onda daje ukupno [inlmath]12\cdot{10\choose 2}[/inlmath] načina.

Slično [inlmath]2[/inlmath] od [inlmath]12[/inlmath] tačaka sa druge prave mogu da se izaberu na [inlmath]12\choose 2[/inlmath] načina, a preostala tačka sa prve prave na [inlmath]10[/inlmath] načina. To daje da je ukupan broj mogućnosti za ovaj slučaj [inlmath]10\cdot{12\choose 2}[/inlmath].

Ukupan broj trouglova određenih ovim tačkama je dakle:
[dispmath]12\cdot{10\choose 2}+10\cdot{12\choose 2}=1200[/dispmath]