MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Koliko ima prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] koji nisu djeljivi ni sa [inlmath]3[/inlmath],ni sa [inlmath]5[/inlmath], ni sa [inlmath]7[/inlmath]?

Imam sutra ispit,ako može pomoć bila bih vam baš zahvalna. Poozz

Pre svega, zamolio bih te da procitas pravilnik foruma i da ga se ubuduce pridrzavas.

Sto se zadatka tice, evo uputstvo: prvo odredi broj brojeva koji su deljivi sa [inlmath]3[/inlmath], onih deljivih sa [inlmath]5[/inlmath] i onih deljivih sa [inlmath]7[/inlmath] (obicno celobrojno deljenje [inlmath]100\:000[/inlmath] sa pojedinacnim deliocima). Saberes sve to i oduzmes od ukupnog broja, s tim sto moras povesti racuna o tome da su u pomenutom zbiru neki brojevi ukljuceni vise puta. Otuda, taj zbir treba izmeniti tako sto uzmes u obzir ta ponavljanja. Broj onih brojeva koji su deljivi i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath] mozes odrediti kao broj onih brojeva koji su deljivi sa [inlmath]15[/inlmath], broj onih koji su deljivi i sa [inlmath]5[/inlmath] i sa [inlmath]7[/inlmath] kao onih koji su deljivi sa [inlmath]35[/inlmath], onih deljivih i sa [inlmath]7[/inlmath] i sa [inlmath]3[/inlmath] kao onih koji su deljivi sa [inlmath]21[/inlmath], a broj onih koji su deljivi sa sva tri broja kao broj onih deljivih sa [inlmath]3\cdot 5\cdot 7[/inlmath].

Do postupka koji je Milovan opisao moglo bi se doći i primenom gotove formule – formule uključivanja i isključivanja, koja glasi:
[dispmath]\left|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{1\le i<j\le n}\left|A_i\cap A_j\right|+\\
+\sum_{1\le i<j<k\le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\cdots +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n\right|[/dispmath]
Ako sa [inlmath]A[/inlmath] obeležimo skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] koji su deljivi sa [inlmath]3[/inlmath], sa [inlmath]B[/inlmath] skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] koji su deljivi sa [inlmath]5[/inlmath] i sa [inlmath]C[/inlmath] skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] koji su deljivi sa [inlmath]7[/inlmath], tada se formula svodi na
[dispmath]\left|A\cup B\cup C\right|=\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-\left|A\cap B\right|-\left|A\cap C\right|-\left|B\cap C\right|+\left|A\cap B\cap C\right|[/dispmath]
gde je
[inlmath]A\cup B\cup C[/inlmath] – skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] deljivih bar jednim od brojeva [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath];
[inlmath]A\cap B[/inlmath] – skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] deljivih i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath] (tj. deljivih sa [inlmath]15[/inlmath]);
[inlmath]A\cap C[/inlmath] – skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] deljivih i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]7[/inlmath] (tj. deljivih sa [inlmath]21[/inlmath]);
[inlmath]B\cap C[/inlmath] – skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] deljivih i sa [inlmath]5[/inlmath] i sa [inlmath]7[/inlmath] (tj. deljivih sa [inlmath]35[/inlmath]);
[inlmath]A\cap B\cap C[/inlmath] – skup prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] deljivih i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath] i sa [inlmath]7[/inlmath] (tj. deljivih sa [inlmath]105[/inlmath]).

Pošto smo ovom formulom dobili broj prirodnih brojeva koji su deljivi bar jednim od brojeva [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath], a to je suprotno od onog što nama treba (broj prirodnih brojeva koji nisu deljivi ni sa [inlmath]3[/inlmath], ni sa [inlmath]5[/inlmath], ni sa [inlmath]7[/inlmath]), potrebno je još da od ukupnog broja prirodnih brojeva manjih od [inlmath]100\:000[/inlmath] (a njih je [inlmath]99\:999[/inlmath]) oduzmemo broj koji smo dobili ovom formulom.

---

Inače, do toga da je broj prirodnih brojeva deljivih i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath] jednak broju prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]15[/inlmath], došli smo na osnovu toga što [inlmath]15[/inlmath] predstavlja najmanji zajednički sadržalac (NZS) brojeva [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]. Analogno i za brojeve [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath], kao i za [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath].
U ovom slučaju se NZS svodi na proizvod svaka dva od ta tri broja, zbog toga što, kada su dva broja uzajamno prosta, tada je njihov NZS jednak njihovom proizvodu. A pošto su [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath] prosti brojevi, pa samim tim i uzajamno prosti, NZS svaka dva od ta tri broja jednak je njihovom proizvodu.
Čisto eto da napomenem, da neko iz ovog primera ne bi došao do pogrešnog zaključka da se uvek u ovakvim slučajevima traži proizvod brojeva...