MATEMANIJA

Evo imam jos jedno kratko pitanje iz faktorijela.
npr. [inlmath]5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120[/inlmath]
a [inlmath]1!=1[/inlmath] to mi je jasno
ali ovo me totalno zbunjuje kako je [inlmath]0!=1[/inlmath] tj po nekoj mojoj logici treba biti [inlmath]0[/inlmath] a znam da je [inlmath]1[/inlmath]. Znaci treba mi neko objasnjenje neki dokaz. Takodjer i ovo sam trazio po netu i nisam mogao pronaci adekvatan odgovor.

Postoji više razloga zašto je [inlmath]0!=1[/inlmath]. Iz formule [inlmath]n!=n\cdot (n-1)![/inlmath] sledi da je [inlmath](n-1)!=\frac{n!}{n}[/inlmath]. Zamenom vrednosti dobijamo da je [inlmath](n-1)!=(1-1)!=0!=\frac{1!}{1}=1[/inlmath] (zapravo, ovo ne bi bio valjan dokaz, pošto se rekurentna fromula [inlmath]n!=n\cdot (n-1)![/inlmath] zasniva na početnom uslovu [inlmath]0!=1[/inlmath]).
Faktorijel možemo posmatrati iz ugla kombinatorike: broj načina da se izvuče [inlmath]0[/inlmath] elemenata iz praznog skupa je [inlmath]{0\choose 0}=\frac{0!}{0!0!}=1[/inlmath], kao i broj načina da se izvuče [inlmath]n[/inlmath] elemenata iz skupa sa [inlmath]n[/inlmath] elemenata jednak je [inlmath]{n\choose n}=\frac{n!}{n!0!}=1[/inlmath] (druga formula ima više smisla). Broj načina na koji možemo organizovati (permutovati) prazan skup takođe je [inlmath]0!=1[/inlmath].
Faktorijel funkcija se može proširiti (generalizovati) i na skup realnih brojeva (skoro). Tako postoji gama funkcija [inlmath]\Gamma (t)=\int\limits^{\infty}_0x^{t-1}e^{-x}\mathrm dx[/inlmath], koja ima osobinu da za [inlmath]n\in\mathbb{N}_0[/inlmath] ima vrednosti [inlmath]\Gamma (n)=(n-1)![/inlmath]. Naravno, [inlmath]\Gamma (1)=0!=1[/inlmath].

Moglo bi se reci da mi je sada nesto jasnije

Dodao bih još jedan način tumačenja [inlmath]0![/inlmath].
[inlmath]0!=1[/inlmath] može biti podjednako zbunjujuće kao i [inlmath]a^0=1[/inlmath]. Zbog čega je [inlmath]a^0=1[/inlmath] objašnjeno je u tutorijalu o stepenovanju, na samom početku. Sličan rezon možemo primeniti i za [inlmath]0![/inlmath], jer, ako [inlmath]n![/inlmath] posmatramo ne kao [inlmath]n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots 2\cdot 1[/inlmath], već kao [inlmath]1\cdot\left[n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots 2\cdot 1\right][/inlmath], tada bi [inlmath]0![/inlmath] značilo da ovu jedinicu van zagrade nijednom ne množimo nijednim drugim brojem.

Osim toga, binomna formula,
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k={n\choose 0}a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots +{n\choose n-1}ab^{n-1}+{n\choose n}b^n[/dispmath]
ne bi bila tačna kad ne bi bilo [inlmath]0!=1[/inlmath]. Da bi binomna formula bila zadovoljena, mora biti
[dispmath]{n\choose 0}={n\choose n}=1\quad\Rightarrow\quad\frac{n!}{\left(n-0\right)!\cdot 0!}=\frac{\cancel{n!}}{\left(n-n\right)!\cdot\cancel{n!}}=1\quad\Rightarrow\quad\frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!}\cdot 0!}=\frac{1}{0!}=1\quad\Rightarrow\quad 0!=1[/dispmath]

Hmm. Sada si me malo zbubio jasno mi je sto je [inlmath]a^0=1[/inlmath] naravno izuzetak je [inlmath]a[/inlmath] ne smije biti [inlmath]0[/inlmath] jer je [inlmath]0^0[/inlmath] nedefinisano. E sada otkud ova [inlmath]1[/inlmath]-ca sto mozi sve ispred ali ponovo i sa tim mi nije jasno kako je [inlmath]0!=1[/inlmath] A sto se tice ove binomne formule jos nisam dosao do toga tek sam na pocetku pa tako ta je ne razumijem.

Gamma je napisao:E sada otkud ova [inlmath]1[/inlmath]-ca sto mozi sve ispred ali ponovo i sa tim mi nije jasno kako je [inlmath]0!=1[/inlmath]

Ovu jedinicu izvan zagrade sam jednostavno dopisao zato što je [inlmath]a=1\cdot a[/inlmath], tj. dopisivanjem te jedinice ne menja se vrednost celog izraza.