MATEMANIJA

Da biste ovo što sledi ispratili kako treba, neophodno je da se prethodno podsetite Danielovog tutorijala na temu kombinatorike. Tema nam je binomni koeficijent sa razlomkom:
[dispmath]-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k[/dispmath]
Formula koja se ovde mora primeniti (jer "gore" nije prirodan broj, nema faktorijela od [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]) glasi:
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}=\frac{\overbrace{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)\cdots\left(-\frac{1}{2}-k+1\right)}^{k\;\mathrm{faktora}}}{\underbrace{k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots3\cdot2\cdot1}_{k\;\mathrm{faktora}}}[/dispmath]
Za ovaj elegantan zapis treba se zahvaliti dvojici ljudi: Danielu i čoveku koji je izmislio copy-paste. Dalje je to:
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}=\frac{\overbrace{-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\cdots\left(-\frac{2k-1}{2}\right)}^{k\;\mathrm{faktora}}}{\underbrace{k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots3\cdot2\cdot1}_{k\;\mathrm{faktora}}}[/dispmath]
E sad se iz brojioca [inlmath]k[/inlmath] puta izvlači po [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] puta po [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] (zato mi zgodno dođe ono"[inlmath]k[/inlmath] faktora"):
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}=\frac{(-1)^k\frac{1}{2^k}1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)}{k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots3\cdot2\cdot1}[/dispmath]
U imeniocu je evidentno [inlmath]k![/inlmath] pri čemu će mu društvo praviti i [inlmath]2^k[/inlmath]. Što se tiče [inlmath](-1)^k[/inlmath] , on je nekad [inlmath]1[/inlmath] a nekad [inlmath]-1[/inlmath], u zavisnosti od toga da li je [inlmath]k[/inlmath] parno ili neparno. Pošto mu parnost ne znamo, ostavljamo tako kako piše.
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}=(-1)^k\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)}{2^kk!}[/dispmath]
Pogledajmo izraz: [inlmath]1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)[/inlmath] Ovo je proizvod svih neparnih brojeva počev od broja [inlmath]1[/inlmath] do broja [inlmath]2k-1[/inlmath] i on se označava sa [inlmath](2k-1)!![/inlmath] (čita se "dva [inlmath]k[/inlmath] minus jedan dvostruki (dupli) faktorijel". Slično je i sa proizvodom svih parnih brojeva počev od dvojke: [inlmath](2k)!!=2\cdot4\cdot6\cdots2k[/inlmath]
Hajde da ih pomnožimo: [inlmath](2k-1)!!(2k)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)\cdot2\cdot4\cdot6\cdots(2k)=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdots(2k-1)(2k)=(2k)![/inlmath]
Zašto nam je ovo neophodno biće jasnije...Nešto kasnije. Napomenuću i da se uzima [inlmath]0!!=1[/inlmath] a o tome i sličnom pročitajte ovde
Evo i još jedne interesantne osobine: [inlmath]2\cdot4\cdot6\cdots(2k)=2^kk![/inlmath] Možda će biti jasnije na primeru: [inlmath]8!!=2\cdot4\cdot6\cdot8=2^4\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4=2^44![/inlmath]
Vreme je da se vratimo našem starom prijatelju, binomnom koeficijentu:
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}=(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{2^kk!}=(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{2^kk!}\cdot\frac{(2k)!!}{(2k)!!}=(-1)^k\frac{(2k)!}{2^kk!\cdot2^kk!}[/dispmath]
Na kraju evo i konačnog izraza, u kome je binomni koeficijent sveden na "obične" faktorijele:
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}=(-1)^k\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}[/dispmath]
Ponešto od iznetog biće potrebno kada dalje budemo razmatrali beta i gama funkciju. Za kraj, evo i par zadataka za samostalan rad:
a) lako:
[dispmath]-1\choose\;\;\;k[/dispmath]
b) srednje težine:
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose\;\;\;k}{\frac{1}{2}\choose k}[/dispmath]
c) sumo-rvač:
[dispmath]{\frac{1}{3}\choose k}{\frac{2}{3}\choose k}[/dispmath]

LIKE!

Inače, valja napomenuti da se „standardni“ binomni koeficijent [inlmath]n\choose k[/inlmath] definiše za nenegativne brojeve [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] gde je [inlmath]0\le k\le n[/inlmath], dok ovde pokazani binomni koeficijent kod kojeg je [inlmath]n[/inlmath] realan broj (koji može biti i negativan) predstavlja proširenje definicije binomnog koeficijenta.

desideri je napisao:Evo i još jedne interesantne osobine: [inlmath]2\cdot4\cdot6\cdots(2k)=2^kk![/inlmath] Možda će biti jasnije na primeru: [inlmath]8!!=2\cdot4\cdot6\cdot8=2^4\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4=2^44![/inlmath]

Ili, pokazano u najopštijem slučaju:
[dispmath]\left(2k\right)!!=\underbrace{2\cdot4\cdot6\cdots\left(2k-1\right)\left(2k\right)}_{k\;\mathrm{činilaca}}=\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}_{k\;\mathrm{dvojaka}}\cdot\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots\left(k-1\right)\cdot k}_{k!}=2^kk![/dispmath]
Dodao bih još i to, da se formula
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose k}=\left(-1\right)^k\frac{\left(2k\right)!}{2^{2k}\left(k!\right)^2}[/dispmath]
može izraziti i preko „standardnog“ binomnog koeficijenta:
[dispmath]{-\frac{1}{2}\choose k}=\left(-1\right)^k\frac{\left(2k\right)!}{2^{2k}\left(k!\right)^2}=\frac{\left(-1\right)^k}{2^{2k}}\frac{\left(2k\right)!}{k!\cdot k!}=\frac{\left(-1\right)^k}{2^{2k}}\frac{\left(2k\right)!}{k!\cdot\left(2k-k\right)!}=\frac{\left(-1\right)^k}{2^{2k}}{2k\choose k}\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{{-\frac{1}{2}\choose k}=\frac{\left(-1\right)^k}{2^{2k}}{2k\choose k}}[/dispmath]

---

Što se tiče zadataka – pod a) je zaista "piece of cake". Izračunao sam i pod b) i pod c), ali se dobiju poprilično glomazni razlomci, osim ako ne postoji neki način (koji ja ne vidim) da se to uprosti...
Da li je pokušao još neko da reši zadatke?

U drugom zadatku (onaj pod b)) se kod sređivanja drugog binomnog koeficijenta koristi:
[dispmath](2n-3)!!=\frac{(2n-1)!!}{2n-1}[/dispmath]
Dobije se skoro isto kao i za prvi binomni koeficijent, koji je urađen.
Sređen oblik za ovo pod c) je:
[dispmath]\frac{27}{2}\cdot\frac{k(3k-3)!}{3^{3k}(k!)^3}[/dispmath]

desideri je napisao:U drugom zadatku (onaj pod b)) se kod sređivanja drugog binomnog koeficijenta koristi:
[dispmath](2n-3)!!=\frac{(2n-1)!!}{2n-1}[/dispmath]
Dobije se skoro isto kao i za prvi binomni koeficijent, koji je urađen.

Taj identitet sam i koristio, ali dobio sam prilično ružan (mada provereno tačan) rezultat:
[dispmath]\frac{\left[\left(2k\right)!\right]^2}{2^{4k}\left(k!\right)^4\left(1-2k\right)}[/dispmath]

desideri je napisao:Sređen oblik za ovo pod c) je:
[dispmath]\frac{27}{2}\cdot\frac{k(3k-3)!}{3^{3k}(k!)^3}[/dispmath]

A ja dobijem
[dispmath]\frac{6k\left(3k-3\right)!}{3^{3k}\left(k!\right)^3}[/dispmath]
što sam takođe proverio i tačan je rezultat.
Znači, [inlmath]6[/inlmath] umesto [inlmath]\frac{27}{2}[/inlmath], a ostalo sve isto...

Tačno tako. Ja sam kod sređivanja zaboravio [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath] sa čim je trebalo pomnožiti moj "rezultat".
E, sad, što se lepote tiče, izrazi se malo razlikuju od već viđenog [inlmath]\left(-1\right)^k\frac{\left(2k\right)!}{2^{2k}\left(k!\right)^2}[/inlmath] ali...
Bitno je da je korisno, makar i ne bilo lepo. Jer, ako bi ovo na primer bili opšti članovi nekih redova, nije problem ispitati konvergenciju. Ova dva poslednja su pri tome sa pozitivnim članovima (u onom pod (b) se minus izvuče ispred sume). Ne znam samo da li ovde nastavljati temu u tom smeru. Ipak redovi ne spadaju u kombinatoriku.