Različitih petocifrenih brojeva koji imaju tačno dve različite cifre ima?
Rešenje: [inlmath]1215[/inlmath].
Znam da prva cifra ne sme biti [inlmath]0[/inlmath], tj. da ima [inlmath]9[/inlmath] načina da se izabere prva cifra. Preostale četiri moraju biti iste i da bi bio petocifren broj sa dve različite cifre, ne smeju biti iste kao prva, znači neka od [inlmath]9[/inlmath] preostalih. Kako odabrati ove četiri?

Izracunaj koliko bi bilo ukupno petocifrenih brojeva sa dve razlicite cifre. To su varijacije sa ponavljanjem od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath]klase. Taj broj petocifrenih brojeva treba pomnoziti sa brojem kombinacija odabira dve cifre, a to su kombinacije bez ponavljanja od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase. Sada jedino sto ostaje da se oduzme broj onih petocifrenih brojeva u kojima je jedna od cifara [inlmath]0[/inlmath], ali samo onda kada je na prvom mestu. Takodje, treba oduzeti i one brojeve, kada jedna od izabranih cifrara cini taj broj.

Znaci, [inlmath]C_{10}^2\cdot\left(\overline V_5^2-2\right)-C_9^1\cdot\left(\overline V_4^2-1\right)=1350-135=1215[/inlmath].

A možeš li malo da mi pojasniš zašto u zagradi oduzimaš [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Ne snalazim se sa ovom oblašću uopšte

Zato sto kada formiras petocifrene brojeve od dve cifre dobices i one koji su sacinjeni samo od jedne cifre (npr. [inlmath]11111,22222[/inlmath]), a takvi brojevi svakako ne zadovoljavaju uslov pa ih treba iskljuciti. U prvom slucaju se oduzima [inlmath]2[/inlmath] jer imamo dve cifre, a u drugom slucaju je to samo jedna cifra (druga je [inlmath]0[/inlmath]).

Potvrđujem tačnost Ilijinog rešenja, uz neke ispravke u vezi sa samim objašnjenjem i oznakama, koje bi, ovako napisane, mogle da dovedu do zabune:

Ilija je napisao:To su varijacije sa ponavljanjem od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath]klase.

Zapravo, obrnuto. Varijacije s ponavljanjem od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase. Imamo na raspolaganju [inlmath]2[/inlmath] cifre, a treba ih rasporediti (s ponavljanjem) na [inlmath]5[/inlmath] mesta.

Takođe, i ovde:

Ilija je napisao:Znaci, [inlmath]C_{10}^2\cdot\left(\overline V_{\color{red}5}^{\color{red}2}-2\right)-C_9^1\cdot\left(\overline V_{\color{red}4}^{\color{red}2}-1\right)=1350-135=1215[/inlmath].

Umesto crveno obeleženih brojeva, treba ovako: [inlmath]C_{10}^2\cdot\left(\overline V_2^5-2\right)-C_9^1\cdot\left(\overline V_2^4-1\right)=1350-135=1215[/inlmath]
Dakle, [inlmath]\overline V_2^5[/inlmath]: varijacije s ponavljanjem od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase – [inlmath]2[/inlmath] cifre raspoređujemo (s ponavljanjem) na [inlmath]5[/inlmath] mesta.
Analogno i za [inlmath]\overline V_2^4[/inlmath].
Dakle – u oznakama varijacija i kombinacija (bilo s ponavljanjem, bilo bez) dole beležimo broj elemenata, a gore beležimo broj klase.

Ilija je napisao:Zato sto kada formiras petocifrene brojeve od dve cifre dobices i one koji su sacinjeni samo od jedne cifre (npr. [inlmath]11111,22222[/inlmath]), a takvi brojevi svakako ne zadovoljavaju uslov pa ih treba iskljuciti. U prvom slucaju se oduzima [inlmath]2[/inlmath] jer imamo dve cifre, a u drugom slucaju je to samo jedna cifra (druga je [inlmath]0[/inlmath]).

Ovo bih pokušao da objasnim malo drugačijim rečima. Uzmimo prvo primer da smo odabrali dve cifre od kojih nijedna nije nula, recimo, [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath]. Petocifreni brojevi koje možemo napraviti od te dve cifre jesu sledeći:
[dispmath]\begin{array}{llll}
{\color{red}33333} & 37333 & 73333 & 77333\\
33337 & 37337 & 73337 & 77337\\
33373 & 37373 & 73373 & 77373\\
33377 & 37377 & 73377 & 77377\\
33733 & 37733 & 73733 & 77733\\
33737 & 37737 & 73737 & 77737\\
33773 & 37773 & 73773 & 77773\\
33777 & 37777 & 73777 & {\color{red}77777}
\end{array}[/dispmath]
Naravno, ima ih [inlmath]32[/inlmath] (broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase). Međutim, u zadatku se traži da petocifren broj mora imati dve različite cifre, što znači da petocifreni brojevi koje sam označio crvenom bojom, a koji se sastoje od samo jedne cifre, ne zadovoljavaju taj uslov. Imamo dva takva broja i njih eliminišemo. Prema tome, od dve izabrane cifre možemo napraviti [inlmath]\left(\overline V_2^5-2\right)[/inlmath] petocifrena broja s različitim ciframa.

U slučaju kad na prvom mestu imamo nulu, tada je stvar donekle drugačija. Recimo da je druga cifra, osim nule, četvorka. Tada možemo sastaviti sledeće brojeve:
[dispmath]\begin{array}{lll}
{\color{red}00000} & 00400 & 04000 & 04400\\
00004 & 00404 & 04004 & 04404\\
00040 & 00440 & 04040 & 04440\\
00044 & 00444 & 04044 & 04444
\end{array}[/dispmath]
Sada imamo samo jedan petocifren broj koji se sastoji od samo jedne cifre – nule. Ne možemo imati petocifren broj kojem su sve cifre četvorke ([inlmath]44444[/inlmath]), jer je uslov ovog slučaja taj, da prva cifra bude nula. Prema tome, taj jedan broj koji ne zadovoljava uslove zadatka – eliminišemo. Dakle, petocifrenih brojeva sastavljenih od nule i još jedne već izabrane cifre, pri čemu je nula na prvom mestu, ima [inlmath]\left(\overline V_2^4-1\right)[/inlmath].

---

@Ilija, tek sad videh, zahvaljujući ovom tvom odgovoru, da smo u prekjučerašnjem zadatku (inače, vrlo sličnom ovom sad zadatku) prevideli da treba eliminisati brojeve koji se sastoje od samo jedne cifre. Upravo sam to dopisao.

Pohvale za detaljnije objasnjenje. Verovatno ce pomoci da se bolje razume.

P.S. Hvala na ispravci 'cudno' napravljenih gresaka.