MATEMANIJA

Pozdrav, interesuje me kako da uradim ovaj zadatak: Razlicitih petocifrenih brojeva koji imaju tacno [inlmath]2[/inlmath] razlicite cifre ima? Resenje je [inlmath]1215[/inlmath]. Ne znam ni kako da zapocnem zadatak, uopste nemam ideju. Probao sam nesto sa varijacijama i kombinacijama, ali uopste ne dobijam resenja koja su priblizna tom.

Uradiš ga tako što malo pregledaš slične teme po rubrici „Kombinatorika“, i nađeš ovaj zadatak, koji smo imali pre tačno dve nedelje.

Hvala Daniele, ocigledno da nisam bas detaljno pretrazio forum.

Evo jedan sličan, sada sam ga smislio tako da je originalan
Koliko ima različitih jedanaestocifrenih prirodnih brojeva deljivih sa [inlmath]7[/inlmath] kojima je tačno [inlmath]8[/inlmath] cifara međusobno različito?

Priznajem, preterao sam s ovom deljivošću sa [inlmath]7[/inlmath].
Umrsio sam se rešavajući.
To može samo Daniel da reši
'aj neka bude deljivost sa [inlmath]5[/inlmath], to je puno lakše.

A ja baš gledam taj zadatak sa sedmicom i taman sam mislio da te pitam da l' si siguran da se može rešiti.

Da, sad s peticom već deluje rešivo. Samo, ako možeš da pojasniš ovaj deo:

desideri je napisao:kojima je tačno [inlmath]8[/inlmath] cifara međusobno različito?

Da li to znači da se razmatraju npr. sledeći brojevi?
[inlmath]31{\color{red}4}6{\color{blue}7}9{\color{green}0}{\color{red}4}{\color{green}0}2{\color{blue}7}[/inlmath] (tri cifre se pojavljuju dvaput, ostalih pet cifara po jednom)
[inlmath]{\color{red}4}{\color{blue}3}058{\color{blue}3}96{\color{red}4}{\color{blue}3}2[/inlmath] (jedna cifra se pojavljuje triput, jedna se pojavljuje dvaput, ostalih šest cifara po jednom)
[inlmath]84{\color{blue}2}375{\color{blue}22}6{\color{blue}2}0[/inlmath] (jedna cifra se pojavljuje četiri puta, ostalih sedam cifara po jednom)

Mislio sam na ovo:

Daniel je napisao:jedna cifra se pojavljuje četiri puta, ostalih sedam cifara po jednom

Ali sam verovatno preterao, ovo je previše za prijemni, nisam hteo da zbunim bilo kog korisnika, a uvek ću biti na strani naših korisnika.
I uvek protiv konfuzno i, hajde da kažem, "kvarno" postavljenih zadataka koji se ne mogu osporiti formalno.
Daniel,
ovo sa sedmicom je previše, pomislih na to i zbog naših tema na temu deljivosti brojem [inlmath]7[/inlmath], bila jedna Gammina.
Ne želimo da zbunjujemo ljude.
S peticom je ok, na to citirano sam mislio, ali nemoj ti rešavati molim te. Ko želi neka napiše, no ljudi imaju preča posla (verovatno).
Da svi naši maturanti polože prijemni i osvetlaju obraz i sebi i Matemaniji

OK, OK, neću rešavati.

Zadatak je tu, nikud pobeći neće, pa kad bude prošao prijemni možda ga se neko i bude setio. Naravno, ako dotad ne budu bili već prezasićeni matematikom.

Mada bi i ovaj zadatak mogao biti izvrsna priprema za prijemni – ako reše ovaj, onda će one na prijemnom rasturiti kô od šale.

Evo ja da probam nesto: Kad bi bilo sa [inlmath]7[/inlmath]: Kada se neki broj deli sa [inlmath]7[/inlmath] zanemaruje se njegova poslednja cifra, a od onoga sto je preostalo oduzima se dvostruka vrednost zanemarene cifre. Sad je stvar komplikovana jer se bira [inlmath]8[/inlmath] cifara. Na poslednje mesto se moze fiksirati odredjen broj, ali se taj isti broj vise ne sme ponavljati. Kada se uzmu sva mesta u obzir, ako sam i malo shvatio onaj princip onda od [inlmath]10[/inlmath] koje su mi na raspolaganju biram osam. A tih osam cifara se rasporedjuje na preostalih [inlmath]10[/inlmath] mesta i dobijem ovako: [inlmath]C{10\choose8}\cdot\left(8^{10}-8\right)-C{9\choose8}\cdot\left(8^9-1\right)[/inlmath]. E sad treba voditi racuna o zbiru brojeva koji se postavljaju na preostalim mestima i od njih oduzimati dvostruke vrednosti poslednje cifre, a to je vec bas zeznuto.
Kad bi bilo sa pet, vodi se racuna o tome da na poslednjem mestu budu [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]. Onda ostane [inlmath]10[/inlmath] mesta, jer su one dve cifre fiksirane. Na tih deset mesta biram [inlmath]8[/inlmath] cifara, pa tako dobijam [inlmath]C{10\choose8}\cdot\left(8^{10}-8\right)[/inlmath]. Sad me jedino buni da li uzimam u obzir svih [inlmath]11[/inlmath] mesta ili se fokusiram na onih [inlmath]10[/inlmath] koja su mi na raspolaganju.

Više puta sam pročitao ovaj post, ali nikako nisam uspeo da ispratim postupak.

Prvo deljivost sa [inlmath]7[/inlmath]:

Anonimo je napisao:Na poslednje mesto se moze fiksirati odredjen broj, ali se taj isti broj vise ne sme ponavljati.

Na osnovu čega tvrdiš da ne može? Imamo jednu cifru koja se unutar broj pojavljuje [inlmath]4[/inlmath] puta i imamo preostalih [inlmath]7[/inlmath] cifara koje se pojavljuju svaka po jednom. Otkud znaš da upravo ta cifra što se našla na poslednjem mestu nije ta što se pojavljuje [inlmath]4[/inlmath] puta?

Anonimo je napisao:i dobijem ovako: [inlmath]C{10\choose8}\cdot\left(8^{10}-8\right)-C{9\choose8}\cdot\left(8^9-1\right)[/inlmath].

Bi li mogao da objasniš kako si došao do svakog od ovih faktora? Od svega ovoga, jasno mi je samo [inlmath]C{10\choose8}[/inlmath] (BTW kombinacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]8[/inlmath]. klase obeležavaju se ili sa [inlmath]C_{10}^8[/inlmath], ili sa [inlmath]10\choose8[/inlmath], ali ne [inlmath]C{10\choose8}[/inlmath]) – to je broj načina na koje od ukupno [inlmath]10[/inlmath] cifara iz dekadnog sistema možemo odabrati [inlmath]8[/inlmath] od kojih će se sastojati taj broj. Ali, nikako mi nije jasno odakle [inlmath]8^{10}-8[/inlmath], [inlmath]9\choose8[/inlmath] ili [inlmath]8^9-1[/inlmath].
Da li si celim tim izrazom, [inlmath]C{10\choose8}\cdot\left(8^{10}-8\right)-C{9\choose8}\cdot\left(8^9-1\right)[/inlmath], obuhvatio tražene brojeve koji su deljivi sa [inlmath]7[/inlmath], ili u tom izrazu još uvek nisi razmatrao deljivost sa [inlmath]7[/inlmath]?

Anonimo je napisao:Kad bi bilo sa pet, vodi se racuna o tome da na poslednjem mestu budu [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]. Onda ostane [inlmath]10[/inlmath] mesta, jer su one dve cifre fiksirane. Na tih deset mesta biram [inlmath]8[/inlmath] cifara

Valjda [inlmath]7[/inlmath] cifara, budući da si jednu cifru ([inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath]) već postavio na poslednje mesto?
A i nije baš tako jednostavno – treba razmatrati slučaj da se ta cifra koja je na poslenjem mestu ne pojavljuje na ostalim mestima, kao i slučaj da se ta cifra koja je na poslednjem mestu pojavljuje u tom broju još triput... Pa onda, voditi računa o tome da nula ne bude na prvom mestu kako bi broj bio jedanaestocifren...

Anonimo je napisao:pa tako dobijam [inlmath]C{10\choose8}\cdot\left(8^{10}-8\right)[/inlmath].

Ni ovde nisam razumeo šta predstavlja [inlmath]8^{10}-8[/inlmath].