MATEMANIJA

Zadatak glasi: Broj nacina da se deset osoba rasporede u pet grupa od po dve osobe je?
Resenje je [inlmath]945[/inlmath]
Nemam uopste ideju,prvi put vidim ovakav tip zadatka.

Označimo osobe sa [inlmath]A_1,A_2,\ldots,A_{10}[/inlmath]. U jednoj od pet formiranih grupa(uzmimo da je to prva radi razmatranja, iako redoslijed grupa nije bitan za problem) pojavljuje se osoba [inlmath]A_1[/inlmath] u kombinaciji sa jednom od preostalih devet osoba. Prvu dakle grupu možemo formirati na [inlmath]9[/inlmath] načina: [inlmath](A_1,A_2),(A_1,A_3),\ldots,(A_1,A_{10})[/inlmath]. Nakon formirane prve grupe, preostale grupe možemo graditi sa preostalih [inlmath]8[/inlmath] osoba. Uzmimo opet radi jasnoće da su nam u prvoj grupi osobe [inlmath]A_1[/inlmath] i [inlmath]A_2[/inlmath] . Za drugu grupu uzmemo kao prvu osobu osobu [inlmath]A_3[/inlmath], a preostale biramo između preostalih [inlmath]7[/inlmath] osoba, imamo dakle [inlmath]7[/inlmath] mogućnosti: [inlmath](A_3,A_4),(A_3,A_5),\ldots,(A_3,A_{10}[/inlmath]). Postupak nastavljamo dalje: imamo dvije formirane grupe, preostalo je [inlmath]6[/inlmath] osoba, treću grupu formiramo na [inlmath]5[/inlmath] načina. Za četvrtu grupu ostaje [inlmath]3[/inlmath] mogućnosti, za petu grupu samo jedna. Ukupno dakle imamo [inlmath]9\cdot7\cdot5\cdot3\cdot1=945[/inlmath] mogućnosti.
Zadatak je možda lakše shvatiti i riješiti ako osobe promatramo kao točke u ravnini, a grupe od dvije osobe shvatimo kao dužine koje spajaju neke dvije od tih deset točaka. Takvih dužina(grupa) ima dakle [inlmath]5[/inlmath], a istim razmatranjem kao gore dobijemo broj načina na koji se tih deset točaka može međusobno povezati dužinama.

Tartuffe je napisao:Ukupno dakle imamo [inlmath]9\cdot7\cdot5\cdot3\cdot1=945[/inlmath] mogućnosti.

Inače, valja napomenuti da se ovakav izraz može skraćeno napisati tzv. dvostrukim faktorijelom, to jest [inlmath]9!!=945[/inlmath].

Pokazao bih još jedan način rešavanja zadatka. Zamislimo, za početak, da nam je bitan međusobni redosled oformljenih grupa – iako u zadatku to nije slučaj, ali zasad razmatramo ovako, a kasnije ćemo dobijeni broj mogućnosti korigovati tako da zadovoljava uslove zadatka.

Pošto u prvu grupu biramo dve od ukupno [inlmath]10[/inlmath] osoba, broj načina na koji to možemo učiniti predstavlja broj kombinacija bez ponavljanja od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase: [inlmath]C_{10}^2={10\choose2}[/inlmath].
U drugu grupu biramo dve od preostalih [inlmath]8[/inlmath] osoba, broj načina na koji to možemo učiniti predstavlja broj kombinacija bez ponavljanja od [inlmath]8[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase: [inlmath]C_8^2={8\choose2}[/inlmath].
U treću grupu biramo dve od preostalih [inlmath]6[/inlmath] osoba, broj načina na koji to možemo učiniti predstavlja broj kombinacija bez ponavljanja od [inlmath]6[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase: [inlmath]C_6^2={6\choose2}[/inlmath].
U četvrtu grupu biramo dve od preostale [inlmath]4[/inlmath] osobe, broj načina na koji to možemo učiniti predstavlja broj kombinacija bez ponavljanja od [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase: [inlmath]C_4^2={4\choose2}[/inlmath].
I petu grupu će činiti preostale dve osobe.

Znači, broj načina na koji možemo oformiti tih [inlmath]5[/inlmath] grupa iznosi [inlmath]{10\choose2}\cdot{8\choose2}\cdot{6\choose2}\cdot{4\choose2}[/inlmath]. Međutim, pošto smo ovime uzimali u obzir i redosled ovako odabranih grupa, time smo dobili [inlmath]5![/inlmath] veći broj mogućnosti od onog koji se traži (budući da [inlmath]5![/inlmath] predstavlja broj permutacija bez ponavljanja od [inlmath]5[/inlmath] elemenata). Znači, da bismo dobili broj mogućnosti koji se traži, potrebno je još da ovaj broj koji smo dobili podelimo sa [inlmath]5![/inlmath]:
[dispmath]\frac{{10\choose2}\cdot{8\choose2}\cdot{6\choose2}\cdot{4\choose2}}{5!}[/dispmath]
a to je
[dispmath]\frac{\frac{^5\cancel{10}\cdot9}{\cancel2}\cdot\frac{^4\cancel8\cdot7}{\cancel2}\cdot\frac{^3\cancel6\cdot5}{\cancel2}\cdot\frac{^2\cancel4\cdot3}{\cancel2}}{5!}=\frac{\cancel5\cdot9\cdot\cancel4\cdot7\cdot\cancel3\cdot5\cdot\cancel2\cdot3}{\cancel5\cdot\cancel4\cdot\cancel3\cdot\cancel2}=9\cdot7\cdot5\cdot3[/dispmath]
što se, dakle, svodi na rešenje koje je Tartuffe dao.

Daniel je napisao: Zamislimo, za početak, da nam je bitan međusobni redosled oformljenih grupa – iako u zadatku to nije slučaj, ali zasad razmatramo ovako, a kasnije ćemo dobijeni broj mogućnosti korigovati tako da zadovoljava uslove zadatka.

Ali, zar se kombinacije ne koriste kada redosled nije bitan?

Ja sam pretpostavio da jeste bitan međusobni redosled tih pet grupa, ali ne i da je bitan redosled osoba unutar svake od grupa. Zbog toga sam za izbor dve osobe u svaku od grupa koristio kombinacije, a ne varijacije.

---

Ili, da objasnim ovako:

Obeležimo tih deset osoba slovima: [inlmath]A,B,C,D,E,F,G,H,I,J[/inlmath].

Jedan od mogućih rasporeda u grupe bio bi:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
\mbox{Grupa }1 & \mbox{Grupa }2 & \mbox{Grupa }3 & \mbox{Grupa }4 & \mbox{Grupa }5\\ \hline
E,H & B,G & A,D & C,J & F,I\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Naravno da bi sledeći način raspoređivanja u grupe bio identičan prethodnom:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
\mbox{Grupa }1 & \mbox{Grupa }2 & \mbox{Grupa }3 & \mbox{Grupa }4 & \mbox{Grupa }5\\ \hline
B,G & E,H & C,J & F,I & A,D\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
ali sam to ipak razmatrao kao različite slučajeve, da bih na kraju postupka broj tako razmatranih slučajeva podelio sa [inlmath]5![/inlmath] i dobio ispravan rezultat.

Međutim, nisam kao odvojene slučajeve razmatrao da se unutar jedne grupe nađu osobe [inlmath]A,D[/inlmath] i da se nađu osobe [inlmath]D,A[/inlmath]. To sam ipak tretirao kao jedan slučaj. E, zbog toga kombinacije za te dve osobe unutar svake grupe, budući da međusobni poredak te dve osobe unutar svake grupe nisam tretirao kao bitan.

Aha, jasno, hvala na pojašnjenju!

Daniel je napisao:Inače, valja napomenuti da se ovakav izraz može skraćeno napisati tzv. dvostrukim faktorijelom, to jest [inlmath]9!!=945[/inlmath].

Pozdrav svima, hteo bih samo da se uverim da li je isti slučaj kada, na primer, imamo više članova u grupama? Na koliko načina mogu [inlmath]15[/inlmath] učenika da se rasporede u [inlmath]3[/inlmath] ekipe od po [inlmath]5[/inlmath] učenika? Da li je rešenje [inlmath]\displaystyle\frac{{15\choose5}\cdot{10\choose5}\cdot{5\choose5}}{3!}[/inlmath] tačno?

Izvinite na duplom postu, evo šta sam još pronašao zapisano sa jednog časa. Ako kažu 'od [inlmath]10[/inlmath] ljudi pravimo GRUPE po [inlmath]2[/inlmath]' onda ide faktorijel [inlmath]5![/inlmath] ispod gornje računice, a ako kažu 'od [inlmath]10[/inlmath] ljudi pravimo EKIPE po [inlmath]2[/inlmath]' onda ne ide faktorijel jer nije svejedno ko je u kojoj ekipi? Ja iskreno ne razumem šta je rečeno i na koju razliku između grupe i ekipe se ciljalo, da li neko može da mi objasni ako shvata ili da zanemarim ovu belešku u svesci? Prethodni post sam postavio upravo zbog toga što mi u svesci piše da je rešenje zadatka bez [inlmath]3![/inlmath] ispod razl. crte. Hvala unapred!

Time su hteli da kažu da, ako su u pitanju grupe, tada se ne pravi razlika između njih (redosled grupa nije bitan), a ako su u pitanju ekipe tada postoji razlika između samih ekipa (npr. ako su ekipe numerisane, ili se razlikuju po nazivu, po boji dresova itd.).
Konkretno, ako su Pera i Mika u jednoj grupi a Žika i Laza u drugoj grupi, to onda tretiramo kao isti slučaj kao i kada su Pera i Mika u onoj drugoj grupi a Žika i Laza u prvoj. Dakle, ne pravimo razliku između samih grupa.
Međutim, ako imamo ekipe, tada nije svejedno da li su Pera i Mika u prvoj ekipi a Žika i Laza u drugoj ekipi, ili su Pera i Mika u drugoj ekipi a Žika i Laza u prvoj. Jer, u prvom slučaju će Pera i Mika nositi npr. plave dresove a Žika i Laza crvene, a u drugom slučaju će biti obrnuto – Pera i Mika će nositi crvene dresove a Žika i Laza plave.

Po meni, dosta je neprecizno to s grupama i ekipama, jer zašto npr. ne bi i grupe mogle biti nekako numerisane, nazvane, ili obojene? Mislim da su to dosta nespretno sročeni tekstovi zadataka i da bi moralo biti eksplicitnije navedeno da li je redosled tih grupa / ekipa / čega god bitan ili ne.

Ali ako prihvatimo takvu terminologiju, onda to jeste razlog zbog kojeg u tvom rešenju ne treba u imeniocu da stoji [inlmath]3![/inlmath] (ekipe se međusobno razlikuju, tj. bitan je njihov poredak). Da je umesto ekipe pisalo grupe, tj. da poredak tih grupa nije bitan, tvoje rešenje bi bilo tačno.

Zamoliću te da od narednog posta koristiš Latex, koji je obavezan na ovom forumu.

Ahaaa, uh a malo mi je falilo da ne pitam, eto ne bi mi na pamet palo da su to hteli. Dosta puta znaju da tako formulišu da bude višesmisleno, ali se, za razliku od ovog slučaja, iščupam nekom svojom logikom. Nisam znao za Latex, sad sam bacio pogled, priznajem da ovako kako je pisalo, stvarno izgleda rogobatno, molba prihvaćena i hvala još jedanput