Naći
[dispmath]\max\Biggl(\left.k{2013\choose k}\;\right|\;k\in\{0,1,2,\ldots,2013\}\Biggr)[/dispmath]
Iz osobine binomnih koeficijenata,
[dispmath]{n\choose m}{m\choose k}={n\choose k}{n-k\choose m-k}={n\choose m-k}{n-m+k\choose k}[/dispmath]
ako uzmemo [inlmath]m=2013\;\Rightarrow[/inlmath]
[dispmath]{n\choose m}={n\choose2013}=k[/dispmath]
Može li se iz ove osobine odrediti [inlmath]n[/inlmath] tako da je
[dispmath]{n\choose m}=k[/dispmath]
ili je ovo pogrešan pristup?

Apsolutno mi nije jasno sta si radio, stavise, sa velikom sigurnoscu mogu reci da je taj pristup pogresan.

Evo neke pocetne ideje (koristicu umesto [inlmath]2013[/inlmath] proizvoljno [inlmath]n[/inlmath], bar je meni tako lakse): pogledaj kad je niz [inlmath]\bigl\{k{n\choose k}\bigr\}_{k=0}^n[/inlmath] rastuci, tj. opadajuci, odnosno pogledaj za koje [inlmath]k[/inlmath] vazi [inlmath]\displaystyle k{n\choose k}\le(k+1){n\choose k+1}[/inlmath], tj. obrnuta nejednakost.

Takodje, odakle je ovaj zadatak?

I meni se mnogo više sviđa da stavimo [inlmath]n[/inlmath]. Umesto [inlmath]2013[/inlmath]. Tako bismo zadatak uradili u opštem slučaju.
Predlažem alternativni postupak koji bih i razradio:
[dispmath]k{n\choose k}=n{n-1\choose k-1}[/dispmath]
Ovo važi za [inlmath]k\ne0[/inlmath]
No kada je [inlmath]k=0[/inlmath] jasno je kao dan da to nije traženi maksimum. To je nula.
Moja ideja se sastoji u tome da je lakše naći maksimum po [inlmath]k[/inlmath] ako je samo jedno [inlmath]k[/inlmath] u izrazu.

Nisam shvatio kako bi se moglo doći do rešenja, a evo rezultata:
[inlmath]k=1012[/inlmath]

Slično kao kod neprekidne funkcije, maksimum je tamo tj. za ono [inlmath]k[/inlmath] gde niz binomnih koeficijenata prelazi iz rašćenja u opadanje.
Dakle, za opšti član:
[dispmath]a_k=n{n-1\choose k-1}[/dispmath]
Postave se dva uslova:
[dispmath]a_k\ge a_{k-1}[/dispmath][dispmath]a_k\ge a_{k+1}[/dispmath]
Posle skraćivanja faktorijela dobija se, uzimajući u obzir oba uslova:
[dispmath]\frac{n}{2}\le k\le\frac{n}{2}+1[/dispmath]
Dakle, traži se ceo broj na ovom intervalu. Za [inlmath]n=2013[/inlmath] dobija se [inlmath]k=1007[/inlmath].

Može se i proveriti pošto si ti dao drugi rezultat:
[dispmath]\frac{1012{2013\choose1012}}{1007{2013\choose1007}}[/dispmath]
Ja sam posle skraćivanja dobio da je ovaj izraz manji od jedan, te je "tvoj" maksimum manji od "mog" maksimuma.

Da napomenem i da se za parno [inlmath]n[/inlmath] dobijaju dva maksimuma, što se i vidi iz mog prethodnog posta.
A i iz osobina binomnih koeficijenata jasno ja da maksimum mora biti oko sredine niza.
Da ne pominjem i Paskalov trougao itd.