MATEMANIJA

Konstantan sabirak u razvijenom obliku izraza [inlmath]\left(\sqrt x−\frac{2}{x^3}\right)^{14}[/inlmath] je:
Sta je konstantan sabirak uopste?
Jel treba sve clanove da raspisujemo ili?

Pod izrazom "konstantan sabirak" podrazumeva se sabirak koji je konstanta (broj), tj. sabirak koji ne sadrzi promenljivu u sebi. Ovde ce to biti [inlmath]364[/inlmath]. Zaista malo glupa formulacija, po mom misljenju.

Formulacija je sasvim logična, ne vidim šta joj fali. Svi ostali sabirci sadrže promenljivu [inlmath]x[/inlmath], i samim tim se menjaju kako se i promenljiva [inlmath]x[/inlmath] menja, jedino taj sabirak koji ne sadrži promenljivu [inlmath]x[/inlmath] nikad se ne manja, tj. konstantan je.

kad je napisao:Jel treba sve clanove da raspisujemo ili?

Ne treba. Opšti sabirak razvoja stepena binoma [inlmath]\left(a+b\right)^n[/inlmath] napišeš u obliku [inlmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath] (gde je u prvom sabirku [inlmath]k=0[/inlmath], u drugom je [inlmath]k=1[/inlmath], u trećem je [inlmath]k=2[/inlmath] itd.), pri čemu u konkretnom primeru zameniš [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] konkretnim vrednostima i nađeš za koje [inlmath]k[/inlmath] će [inlmath]x[/inlmath] biti dignuto na nulti stepen (i, samim tim, „iščeznuti“ iz tog sabirka).

Inače, zadatak je sa prijemnog za MATF 2014. godine.

Najlakše je uraditi ovo tako što se ignoriše i binomni koeficijent u binomnoj formuli a i ova dvojka, treba samo stepen od [inlmath]x[/inlmath] da bude nula. To dalje implicira da je:
[dispmath]\frac{k}{2}-42+3k=0[/dispmath]
Odavde je [inlmath]k=12[/inlmath] pa je lako dobiti rešenje [inlmath]364[/inlmath].
p.s. Slažem se da je zadatak donekle neprecizno formulisan. Ako je [inlmath]x[/inlmath] npr. jednako [inlmath]5[/inlmath] onda su svi članovi konstante.
Dobro, podrazumeva se da je [inlmath]x[/inlmath] promenljiva ali da ne idem dalje u filozofiranje, trebalo je u postavci da stoji: Koji član razvoja ne sadrži [inlmath]x[/inlmath].

desideri je napisao:[dispmath]\frac{k}{2}-42+3k=0[/dispmath]
Odavde je [inlmath]k=12[/inlmath] pa je lako dobiti rešenje [inlmath]364[/inlmath].

Jeste to tacno ali kako si dobio [inlmath]12[/inlmath], kada se resava dobije se:
[dispmath]\frac{14-7k}{2}=0[/dispmath][dispmath]14-7k=0[/dispmath][dispmath]k=2[/dispmath]
Svodi se na isto samo mi nije jasno kojim putem si dosao do te prve jednacine

desideri je napisao:p.s. Slažem se da je zadatak donekle neprecizno formulisan. .

Neki autori preferiraju formulu:
[dispmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k[/dispmath]
A neki autori i to posebno u teoriji verovatnoće i matematičkoj statistici ovu formulu:
[dispmath]{n\choose k}a^kb^{n-k}[/dispmath]
Obe daju isti rezultat.
Ja sam primenio drugu, mnogo mi je bliža i prijatnija, posebno zbog binomne raspodele.

Dakle, [inlmath]\displaystyle{14\choose12}={14\choose2}[/inlmath], jer vazi:
[dispmath]{n\choose k}={n\choose n-k}[/dispmath]

Shvatam da je

Ilija je napisao:Dakle, [inlmath]\displaystyle{14\choose12}={14\choose2}[/inlmath]

nego sam zaboravio da imaju dve formule....(iste)

Tačno je sve to što ste napisali, obe formule daju (i moraju da daju) isti rezultat, ali ja bih budućim brucošima kojima predstoji prijemni ispit snažno preporučio da na ovu „drugu“ formulu [inlmath]\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/inlmath] zaborave i da koriste isključivo „prvu“, tj. [inlmath]\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].

Razlog: Bude često na prijemnom ispitu zadatak tipa „Odrediti treći član u razvoju binoma tog i tog“ i onda uopšte nije svejedno koja se od ove dve formule koristi.
A na prijemnom ispitu podrazumevaju da je ispravna „prva“ formula, tj. [inlmath]\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].
Uostalom, zar nije logično: Za [inlmath]n=2[/inlmath] vrlo retko ćete pisati [inlmath]\left(a+b\right)^2=b^2+2ab+a^2[/inlmath] („druga“ formula), a mnogo češće ćete pisati [inlmath]\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2[/inlmath] („prva“ formula).
Za [inlmath]n=3[/inlmath] vrlo retko ćete pisati [inlmath]\left(a+b\right)^3=b^3+3ab^2+3a^2b+a^3[/inlmath] („druga“ formula), a mnogo češće ćete pisati [inlmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath] („prva“ formula).

Dakle,
[dispmath]\enclose{box}{\enclose{box}{\enclose{box}{\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k}}}[/dispmath]
(bar dok vam ne prođe prijemni).