MATEMANIJA

Broj svih šestocifrenih brojeva sa tri različite neparne i tri različite parne cifre, među kojima nije [inlmath]0[/inlmath], jednak je:

Pozdrav, dobro došao na forum. Najpre bih te uputio da pročitaš Pravilnik, kako bi, radi budućih postova, imao u vidu kako na ovom forumu pitanja treba postavljati (tačka 6). Budući da si nov, oprošteno ti je (za ovaj post).

U ovom zadatku nam dosta olakšava podatak da se među parnim ciframa ne nalazi cifra [inlmath]0[/inlmath]. Da to nije slučaj, morali bismo voditi računa da se [inlmath]0[/inlmath] ne nalazi na prvom mestu, jer broj tada ne bi bio šestocifren, ali ovde ne moramo misliti na tu mogućnost.

Neka osnovna ideja bi bila – prvo odrediš koliko imamo na raspolaganju neparnih, a koliko parnih cifara. Odrediš broj mogućnosti na koje možemo izabrati tri različite neparne i tri različite parne cifre (kombinacije bez ponavljanja – bez ponavljanja jer su cifre različite), a zatim treba još naći i broj mogućnosti za koje se od tako odabranih [inlmath]6[/inlmath] cifara može formirati šestocifreni broj (permutacije bez ponavljanja).

Inače, ovo je zadatak s prvog probnog prijemnog za FON iz 2016. godine (link). Uvek je poželjno navesti i izvor zadatka.

Hvala za brz odgovor, znaci imamo [inlmath]4[/inlmath] parne cifre ([inlmath]2,4,6,8[/inlmath]) i [inlmath]5[/inlmath] neparnih ([inlmath]1,3,5,7,9[/inlmath]), ja sad kombinatoriku uopste ne radim preko formula vec stavljam crtice ovde i onda ubacujem mogucnosti, sve sam tako radio. E sad ovde ne razumem kako. Kombinacija bez ponavljanja mi je formula [inlmath]n\choose k[/inlmath]. Da li mogu prvo da radim sestocifreni sa tacno [inlmath]3[/inlmath] razlicite parne, pa to saberem sa sestocifrenim sa tacno [inlmath]3[/inlmath] raz. neparne. Mada ne znam ni tako

Imamo [inlmath]6[/inlmath] mesta a treba da na [inlmath]3[/inlmath] ubacimo parne, [inlmath]6\choose3[/inlmath], i neparne isto [inlmath]6\choose3[/inlmath], a mi u ponudi imamo [inlmath]4[/inlmath] parne i [inlmath]5[/inlmath] neparnih - a permutacije od [inlmath]6[/inlmath] mesta su mi [inlmath]6![/inlmath]

Molim te, pročitaj ceo Pravilnik. Znači, upotreba Latexa je obavezna (tačka 13.) – ne piše se n nad k, nego se piše [inlmath]n\choose k[/inlmath]. Takođe, izbegavaj citiranje celog prethodnog posta, jer to nepotrebno oduzima prostor (tačka 15).
Počev od tvog narednog posta, očekivaće se da si upoznat sa svim tačkama Pravilnika.

razer123 je napisao:Da li mogu prvo da radim sestocifreni sa tacno [inlmath]3[/inlmath] razlicite parne, pa to saberem sa sestocifrenim sa tacno [inlmath]3[/inlmath] raz. neparne.

Ako bi računao broj šestocifrenih s tačno [inlmath]3[/inlmath] različite parne dok preostale [inlmath]3[/inlmath] cifre ne bi uzimao u obzir, dobio bi daleko veći broj mogućnosti od ovog koji tražiš, jer bi se u njima neparne cifre mogle ponavljati. Potrebno je da istovremeno imaš [inlmath]3[/inlmath] različite parne cifre i [inlmath]3[/inlmath] različite neparne cifre.

razer123 je napisao:Imamo [inlmath]6[/inlmath] mesta a treba da na [inlmath]3[/inlmath] ubacimo parne, [inlmath]6\choose3[/inlmath], i neparne isto [inlmath]6\choose3[/inlmath], a mi u ponudi imamo [inlmath]4[/inlmath] parne i [inlmath]5[/inlmath] neparnih

Upravo tako kao što si na kraju rekao, imamo u ponudi [inlmath]4[/inlmath] parne i [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara. Od te [inlmath]4[/inlmath] parne odabiramo [inlmath]3[/inlmath] i od tih [inlmath]5[/inlmath] neparnih odabiramo takođe [inlmath]3[/inlmath]. Znači, ne račinamo to kao [inlmath]6\choose3[/inlmath] kao što si napisao, već kao... (primeniš formulu za kombinacije bez ponavljanja kada od [inlmath]n[/inlmath] elemenata odabiramo [inlmath]k[/inlmath] elemenata).

razer123 je napisao:a permutacije od [inlmath]6[/inlmath] mesta su mi [inlmath]6![/inlmath]

Ovaj deo je OK.

Prijemni ispit FON – 22. jun 2017.
16. zadatak

Zadatak glasi ovako:
Broj svih sestocifrenih brojeva sa tri razlicite parne cifre medju kojima nije cifra nula i tri razlicite neparne cifre jednak je?
Resenje je [inlmath]5^2\cdot3^2\cdot2^7[/inlmath]

Dok meni ispada [inlmath]5\cdot3^2\cdot2^5[/inlmath], nesto sam previdela, ali ne mogu da shvatim sta
Gledala sam parne cifre kao varijacije od [inlmath]4[/inlmath] elemenata (posto je u zadatku uslovnjeno da su parne cifre bez nule) [inlmath]3.[/inlmath] klase, a neparne kao varijacije od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase. Gde sam omanula u razmatranju?

Imali smo taj zadatak ovde.

Hvala puno!

Tvoj previd je bio u tome što, iako si razmatrala tačno određen redosled tri različite parne cifre i tačno određen redosled tri različite neparne cifre, nisi uzela u obzir da i parne i neparne cifre mogu međusobno da se ispremeštaju. Na primer, broj [inlmath]824571[/inlmath] je dobijen tačno određenim redosledom parnih cifara na prva tri mesta i tačno određenim redosledom neparnih cifara na poslednja tri mesta. Međutim, nisi uzela u obzir da se mogu napraviti i brojevi [inlmath]857214[/inlmath], [inlmath]582741[/inlmath] itd., kod kojih su parne cifre zadržale svoj međusobni redosled ([inlmath]8-4-2[/inlmath]) i neparne cifre zadržale svoj međusobni redosled ([inlmath]5-7-1[/inlmath]). Dakle, svaki od tih slučajeva računala si samo jednom.

Može se uraditi i preko varijacija bez ponavljanja, ali onda je potrebno da prvo odredimo na kojim će mestima biti parne, a na kojim neparne cifre. Znači, mogućnosti npr. [inlmath]NPNNPP[/inlmath], [inlmath]PNPNNP[/inlmath] itd. (Naravno, [inlmath]P[/inlmath] označava neku parnu, a [inlmath]N[/inlmath] neku neparnu cifru.) Pošto imamo dva elementa ([inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]) od kojih se svaki ponavlja [inlmath]3[/inlmath] puta, a treba naći sve njihove moguće rasporede, to su permutacije s ponavljanjem [inlmath]\overline P_6^{3,3}[/inlmath]. I onda, pošto smo rasporedili mesta za parne i za neparne cifre, to još pomnožimo brojem varijacija bez ponavljanja za parne cifre i još brojem varijacija bez ponavljanja za neparne cifre. Dakle, [inlmath]\overline P_6^{3,3}\cdot V_4^3\cdot V_5^3[/inlmath]. Naravno, isti se rezultat dobije kao kad se radi preko kombinacija bez ponavljanja i permutacija bez ponavljanja.