Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod jmatija98 » Četvrtak, 15. Jun 2017, 16:58

Najveći koeficijent polinoma [inlmath](2x+1)^{10}[/inlmath] jednak je:

Tacan odgovor je [inlmath]15360[/inlmath].

Probao sam preko binomne formule racunajuci da je [inlmath]5[/inlmath] clan najveceg koeficijenta medjutim ne dobijem nikakvo resenje cak nije ni ponudjeno. Zadatak je inace sa prijemnog 2016 na MATF Beograd! Ako neko zna posto predpostavljam da nije tezak jer je medju prvima bio bih veoma zahvalan! Unapred hvala!
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod Daniel » Četvrtak, 15. Jun 2017, 17:37

Opšti sabirak u razvoju ovog binoma biće [inlmath]{10\choose k}(2x)^{10-k}[/inlmath], što znači da će koeficijenti polinoma biti oblika [inlmath]{10\choose k}2^{10-k}[/inlmath], gde [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath].
Maksimalno [inlmath]k[/inlmath] određuješ tako što uporediš dva susedna koeficijenta polinoma – jedan kod kojeg uvrstiš [inlmath]k-1[/inlmath] i drugi kod kojeg uvrstiš [inlmath]k[/inlmath]. Postaviš uslov da je ovaj koeficijent polinoma sa [inlmath]k[/inlmath] veći od onog sa [inlmath]k-1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod jmatija98 » Četvrtak, 15. Jun 2017, 17:46

Hvala! Potpuno sam ignorisao sto je stepen relativno mali pa pa mogu peske...
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod bobanex » Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:07

@Daniel nisam razumeo da li tražiš najveći koeficijent polinoma ili najveći binomni koeficijent što ovde nije isto.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod Daniel » Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:10

Najveći koeficijent polinoma, kako i piše u zadatku.
Da, sad videh da sam greškom u svom postu napisao „binomne koeficijente“ umesto „koeficijente polinoma“, što bi nekog moglo zbuniti. Ispraviću, hvala na opažanju.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod Griezzmiha » Subota, 27. Jun 2020, 00:49

Dobro vece/jutro... Drago mi jer da je Daniel ovde uzeo [inlmath]2x[/inlmath] kao prvi clan... U zbirci Djordja Krtinica je on binom [inlmath](2x+1)^{10}[/inlmath] radi lakseg racunanja (pretpostavljam) posmatrao na sledeci nacin: [inlmath](1+2x)^{10}[/inlmath]... Naravno svejedno je sta je prvi a sta drugi clan ili u opstoj formuli [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], ali postoji problem...

Podelio sam ovaj zadatak na ta dva slucaja (razlicito [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]) i dobio drugacije vrednosti.

Posto se najveci koeficijent dobija za [inlmath]k=7[/inlmath] kako kaze resenje ja cu je uzimati kao primer koji ce mi pomoci da uporedim dve strane...

U prvom slucaju [inlmath](2x+1)^{10}[/inlmath] dobijam sledece:
[dispmath]{10\choose k}(2x)^{10-k}1^k={10\choose7}(2x)^{10-7}1^7={10\choose7}(2x)^3\cdot1=\frac{10!}{7!(10-7)!}(2x)^3\cdot1=\\
=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2}\cdot2^3\cdot x^3=10\cdot3\cdot4\cdot8x^3=120\cdot8x^3=960x^3[/dispmath] U drugom ce izgledati ovako:
[dispmath]{10\choose k}(1)^{10-k}(2x)^k={10\choose7}(1)(2x)^7=120\cdot1\cdot2^7\cdot x^7=120\cdot128x^7=15360x^7[/dispmath] Nesto ovde ocigledno nije u redu, mislim da ovde pravilo komutativnosti vazi i da nista ne menja redosled clanova unutar zagrade... Zasto meni ispada pogresno, odnosno drukcije ne znam. Napisao sam ceo postupak misleci da ce ovako biti lakse da se prepozna greska. Prvi slucaj bi onda trebalo da je pogresan posto je [inlmath]15360[/inlmath] resenje.

Naravno evidentno je da imam razlicit eksponent kod [inlmath]x[/inlmath], ali kako ja da znam koji eksponent zapravo treba da trazim? U tekstu zadatka se to ne napominje uopste na kraju krajeva.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod miletrans » Subota, 27. Jun 2020, 01:46

Na osnovu čega si (pogrešno) zaključio da će u oba slučaja najveći koeficijent biti za istu vrednost [inlmath]k[/inlmath]? Sam si zaključio da će maksimalna vrednost koeficijenta biti uz [inlmath]x^7[/inlmath]. Odredi za koje [inlmath]k[/inlmath] će u "prvom" slučaju da se pojavi [inlmath]x^7[/inlmath], i izračunaj koeficijent, videćeš da će se dobiti ista vrednost.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod Griezzmiha » Subota, 27. Jun 2020, 06:17

Istina, paralelno ce se translirati u binomnom keficijentu i sve je na svome sada... Ali recimo, moze li pitanje biti tipa koje je [inlmath]k[/inlmath]? U slucaju da se to trazi onda bi zavisilo od toga sta je [inlmath]X[/inlmath] a sta [inlmath]Y[/inlmath]?... Mada sumnjam da ce se tako nesto traziti upravo iz tog razloga.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod Daniel » Subota, 27. Jun 2020, 16:42

Ne bi trebalo da na prijemnom bude ikakvih nedoumica, jer se tamo svaki zadatak po nekoliko puta proveri da nema moguće nedorečenosti (čak se do te mere ide s preciznošću da, kod zadataka s kompleksnim brojevima, uvek bude napisano [inlmath]i^2=-1[/inlmath], da neko ne bi slučajno radio kao da je [inlmath]i[/inlmath] oznaka promenljive).
Ali, generalno u zadacima s razvojima binoma koje sam dosad viđao nezavisno od prijemnih, pojavljivali su se pojmovi „treći član razvoja binoma“, „sedmi član razvoja binoma“ itd. što je po meni neprecizno, upravo zbog toga što binom možemo razvijati na neki od ta dva načina koja si pokazao. Ipak, nekako je ustaljeno da se stepen binoma razvija po formuli [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath] (umesto po formuli [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/inlmath]), tako da bi npr. treći član u razvoju tog binoma glasio [inlmath]{n\choose2}a^{n-2}b^2[/inlmath].

E sad, zašto je ustaljeno baš ovako – pa, pretpostavljam, zato što smo navikli da npr. za kvadrat binoma pišemo [inlmath](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/inlmath] (što bi sledilo iz formule [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath] za [inlmath]n=2[/inlmath]), a ne da ga pišemo [inlmath](a+b)^2=b^2+2ab+a^2[/inlmath] (što bi sledilo iz formule [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/inlmath] za [inlmath]n=2[/inlmath]). Mada se slažemo da je i jedno i drugo isto.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najveci koeficijent polinoma – prijemni MATF 2016.

Postod vule500 » Utorak, 15. Jun 2021, 23:50

Moze li mi neko objasniti zasto je [inlmath]k = 7[/inlmath]? Kako?
Poslednji put menjao miletrans dana Sreda, 16. Jun 2021, 07:27, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje LaTex-a - Tačka 13. Pravilnika!
vule500  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs