MATEMANIJA

Najveći koeficijent polinoma [inlmath](2x+1)^{10}[/inlmath] jednak je:

Tacan odgovor je [inlmath]15360[/inlmath].

Probao sam preko binomne formule racunajuci da je [inlmath]5[/inlmath] clan najveceg koeficijenta medjutim ne dobijem nikakvo resenje cak nije ni ponudjeno. Zadatak je inace sa prijemnog 2016 na MATF Beograd! Ako neko zna posto predpostavljam da nije tezak jer je medju prvima bio bih veoma zahvalan! Unapred hvala!

Opšti sabirak u razvoju ovog binoma biće [inlmath]{10\choose k}(2x)^{10-k}[/inlmath], što znači da će koeficijenti polinoma biti oblika [inlmath]{10\choose k}2^{10-k}[/inlmath], gde [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath].
Maksimalno [inlmath]k[/inlmath] određuješ tako što uporediš dva susedna koeficijenta polinoma – jedan kod kojeg uvrstiš [inlmath]k-1[/inlmath] i drugi kod kojeg uvrstiš [inlmath]k[/inlmath]. Postaviš uslov da je ovaj koeficijent polinoma sa [inlmath]k[/inlmath] veći od onog sa [inlmath]k-1[/inlmath].

Hvala! Potpuno sam ignorisao sto je stepen relativno mali pa pa mogu peske...

@Daniel nisam razumeo da li tražiš najveći koeficijent polinoma ili najveći binomni koeficijent što ovde nije isto.

Najveći koeficijent polinoma, kako i piše u zadatku.
Da, sad videh da sam greškom u svom postu napisao „binomne koeficijente“ umesto „koeficijente polinoma“, što bi nekog moglo zbuniti. Ispraviću, hvala na opažanju.

Dobro vece/jutro... Drago mi jer da je Daniel ovde uzeo [inlmath]2x[/inlmath] kao prvi clan... U zbirci Djordja Krtinica je on binom [inlmath](2x+1)^{10}[/inlmath] radi lakseg racunanja (pretpostavljam) posmatrao na sledeci nacin: [inlmath](1+2x)^{10}[/inlmath]... Naravno svejedno je sta je prvi a sta drugi clan ili u opstoj formuli [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], ali postoji problem...

Podelio sam ovaj zadatak na ta dva slucaja (razlicito [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]) i dobio drugacije vrednosti.

Posto se najveci koeficijent dobija za [inlmath]k=7[/inlmath] kako kaze resenje ja cu je uzimati kao primer koji ce mi pomoci da uporedim dve strane...

U prvom slucaju [inlmath](2x+1)^{10}[/inlmath] dobijam sledece:
[dispmath]{10\choose k}(2x)^{10-k}1^k={10\choose7}(2x)^{10-7}1^7={10\choose7}(2x)^3\cdot1=\frac{10!}{7!(10-7)!}(2x)^3\cdot1=\\
=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2}\cdot2^3\cdot x^3=10\cdot3\cdot4\cdot8x^3=120\cdot8x^3=960x^3[/dispmath] U drugom ce izgledati ovako:
[dispmath]{10\choose k}(1)^{10-k}(2x)^k={10\choose7}(1)(2x)^7=120\cdot1\cdot2^7\cdot x^7=120\cdot128x^7=15360x^7[/dispmath] Nesto ovde ocigledno nije u redu, mislim da ovde pravilo komutativnosti vazi i da nista ne menja redosled clanova unutar zagrade... Zasto meni ispada pogresno, odnosno drukcije ne znam. Napisao sam ceo postupak misleci da ce ovako biti lakse da se prepozna greska. Prvi slucaj bi onda trebalo da je pogresan posto je [inlmath]15360[/inlmath] resenje.

Naravno evidentno je da imam razlicit eksponent kod [inlmath]x[/inlmath], ali kako ja da znam koji eksponent zapravo treba da trazim? U tekstu zadatka se to ne napominje uopste na kraju krajeva.

Na osnovu čega si (pogrešno) zaključio da će u oba slučaja najveći koeficijent biti za istu vrednost [inlmath]k[/inlmath]? Sam si zaključio da će maksimalna vrednost koeficijenta biti uz [inlmath]x^7[/inlmath]. Odredi za koje [inlmath]k[/inlmath] će u "prvom" slučaju da se pojavi [inlmath]x^7[/inlmath], i izračunaj koeficijent, videćeš da će se dobiti ista vrednost.

Istina, paralelno ce se translirati u binomnom keficijentu i sve je na svome sada... Ali recimo, moze li pitanje biti tipa koje je [inlmath]k[/inlmath]? U slucaju da se to trazi onda bi zavisilo od toga sta je [inlmath]X[/inlmath] a sta [inlmath]Y[/inlmath]?... Mada sumnjam da ce se tako nesto traziti upravo iz tog razloga.

Ne bi trebalo da na prijemnom bude ikakvih nedoumica, jer se tamo svaki zadatak po nekoliko puta proveri da nema moguće nedorečenosti (čak se do te mere ide s preciznošću da, kod zadataka s kompleksnim brojevima, uvek bude napisano [inlmath]i^2=-1[/inlmath], da neko ne bi slučajno radio kao da je [inlmath]i[/inlmath] oznaka promenljive).
Ali, generalno u zadacima s razvojima binoma koje sam dosad viđao nezavisno od prijemnih, pojavljivali su se pojmovi „treći član razvoja binoma“, „sedmi član razvoja binoma“ itd. što je po meni neprecizno, upravo zbog toga što binom možemo razvijati na neki od ta dva načina koja si pokazao. Ipak, nekako je ustaljeno da se stepen binoma razvija po formuli [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath] (umesto po formuli [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/inlmath]), tako da bi npr. treći član u razvoju tog binoma glasio [inlmath]{n\choose2}a^{n-2}b^2[/inlmath].

E sad, zašto je ustaljeno baš ovako – pa, pretpostavljam, zato što smo navikli da npr. za kvadrat binoma pišemo [inlmath](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/inlmath] (što bi sledilo iz formule [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath] za [inlmath]n=2[/inlmath]), a ne da ga pišemo [inlmath](a+b)^2=b^2+2ab+a^2[/inlmath] (što bi sledilo iz formule [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/inlmath] za [inlmath]n=2[/inlmath]). Mada se slažemo da je i jedno i drugo isto.

Moze li mi neko objasniti zasto je [inlmath]k = 7[/inlmath]? Kako?