MATEMANIJA

Broj svih permutacija slova reci BEOGRAD, u kojima je na prva tri mesta bar jedan samoglasnik, jednak je:
[inlmath]A)\;3!\cdot 4!\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;19\cdot 4!\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;7\cdot 4!\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;7!−3!\cdot 4!\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;186\cdot 4!\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{Ne znam}.[/inlmath]

Iz teksta zadatka odmah vidimo da je rec o permutacijama i to bez ponavljanja, zato sto rec "Beograd" ne sadrzi ni jedno slovo koje se ponavlja vise puta tj. sva slova su razlicita. Tako da racunamo ukupan broj permutacija (nezavisno od toga na kom je mestu koje slovo):
[dispmath]P_{(n)}=n![/dispmath]
[dispmath]P_7=7!=5040[/dispmath]
Znaci to nam je ukupan broj permutacija. Sada od tog broja oduzimamo sve one permutacije koje ne ispunjavaju uslov zadatka - da je na prva tri mesta bar jedan samoglasnik. Probacu ovako da objasnim:

BGRD
BGDR
BRGD
BRDG
BDRG
BDGR

GBRD
GBDR
GRBD
GRDB
GDRB
GDBR

RBGD
RBDG
RDBG
RDGB
RGDB
RGBD

DRBG
DRGB
DGRB
DGBR
DBRG
DBGR

Iz ovog vidimo da imamo [inlmath]24[/inlmath] "mogucnosti" - da ih tako nazovem
Sad "obradjujemo" samo prvi slucaj tj. BGRD tj.

BGRDAOE
BGRDAEO
BGRDOAE
BGRDOEA
BGRDEOA
BGRDEAO

BGRADOE
BGRADEO
BGRAOED
BGRAODE
BGRAEOD
BGRAEDO

BGRODEA
BGRODAE
BGROADE
BGROAED
BGROEAD
BGROEDA

BGREDAO
BGREDOA
BGREOAD
BGREODA
BGREAOD
BGREADO

I iz ovog vidimo da imamo [inlmath]24[/inlmath] "mogucnosti" tj. svaka od prvih [inlmath]24[/inlmath] sadrzi po [inlmath]24[/inlmath] tj. [inlmath]24^2[/inlmath]
Pa je konacno:
[dispmath]5040-24^2=5040-576=4464[/dispmath]
odnosno
[dispmath]186\cdot 4![/dispmath]
Znaci ja sam od ukupnog broja permutacija oduzimao sve permutacije koje ne sadrze samoglasnike na prva tri mesta.

Ja bih prikazao i malo opštiji način određivanja broja ovih permutacija.

Kao što Forza reče, pošto se traži da na prva tri mesta bude bar jedan samoglasnik, od ukupnog broja permutacija oduzmemo broj onih permutacija kod kojih na prva tri mesta nema nijednog samoglasnika.
I, uopšte, u kombinatorici, kad god vidimo da u zadatku piše bar jedan, to nam je signal da prvo treba da nađemo ukupan broj slučajeva pa od njega oduzmemo one slučajeve u kojima je nijedan...

Broj permutacija kod kojih na prva tri mesta nema nijednog samoglasnika određujemo na sledeći način:

Na prva tri mesta treba da dođu [inlmath]3[/inlmath] od ukupno [inlmath]4[/inlmath] moguća suglasnika. Odmah vidimo da su to varijacije od [inlmath]4[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja, a njihov broj je [inlmath]V_4^3=\frac{4!}{\left(4-3\right)!}=\frac{4!}{1!}=4![/inlmath]

Na preostala [inlmath]4[/inlmath] mesta treba da dođu preostala [inlmath]4[/inlmath] elementa. To su, dakle, permutacije od [inlmath]4[/inlmath] elementa bez ponavljanja, a njihov broj je [inlmath]P_4=4![/inlmath]

Kad ovo pomnožimo, dobićemo broj permutacija u kojima na prva [inlmath]3[/inlmath] mesta nema nijednog samoglasnika: [inlmath]V_4^3\cdot P_4=4!\cdot 4![/inlmath]

Ovaj broj treba, dakle, oduzeti od ukupnog broja permutacija, [inlmath]P_7=7![/inlmath]:
[inlmath]P_7-V_4^3\cdot P_4=7!-4!\cdot 4![/inlmath]

E sad, ne znam zašto rešenje nisu dali u tom obliku, bilo bi logičnije, ali može se i bez digitrona to lako preurediti u onaj oblik koji je dat u rešenjima:

[inlmath]7!-4!\cdot 4!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!-4!\cdot 4!=\left(7\cdot 6\cdot 5-4!\right)\cdot 4!=[/inlmath]
[inlmath]=\left(7\cdot 6\cdot 5-4\cdot\underbrace{3\cdot 2}_6\right)\cdot 4!=6\cdot\left(7\cdot 5-4\right)\cdot 4!=6\cdot 31\cdot 4!=186\cdot 4![/inlmath]

hvala puno, resio sam ga i ja sam, na neki treci nacin

Probao sam drugi fazon.

Prvo da razvrstamo:

Samoglasnici: [inlmath]EOA[/inlmath]
Suglasnici: [inlmath]BGRD[/inlmath]

Razlikujemo tri slučaja: (1) samo jedan samoglasnik na prva tri mesta, (2) dva samoglasnika na prva tri mesta, (3) tri samoglasnika na prva tri mesta.

Prvi slučaj

Jedan samoglasnik možemo postaviti na tri načina, a ukupno imamo tri samoglasnika, dakle ukupno [inlmath]3\cdot 3=9[/inlmath] mogućnosti. Dva suglasnika možemo odabrati na [inlmath]4\cdot 3=12[/inlmath] načina. A na preostala četiri mesta, slova možemo rasporediti na [inlmath]4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24[/inlmath] načina. Ovo ukupno daje [inlmath]9\cdot 12\cdot 24=\enclose{box}{2592}[/inlmath] načina.

Drugi slučaj

Pošto dva samoglasnika možemo rasporediti na sledeće načine: [inlmath]X_1X_2Y[/inlmath], [inlmath]X_2X_1Y[/inlmath], [inlmath]X_1YX_2[/inlmath], [inlmath]X_2YX_1[/inlmath], [inlmath]YX_2X_1[/inlmath] i [inlmath]YX_1X_2[/inlmath], to znači da automatski imamo [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.
A na koliko načina možemo odabrati ta dva samoglasnika? Njih možemo odabrati na [inlmath]3\cdot 2=6[/inlmath] načina. Preostali suglasnik koji se nalazi na jednom od prva tri mesta možemo odabrati na [inlmath]4[/inlmath] načina. A ostala četiri slova možemo rasporediti na [inlmath]4\cdot 3\cdot 2=24[/inlmath] načina. Ukupno [inlmath]6\cdot 6\cdot 4\cdot 24=\enclose{box}{3456}[/inlmath] načina.

Treći slučaj

Tri samoglasnika na prva tri mesta možemo rasporediti na [inlmath]3\cdot 2=6[/inlmath] načina. A preostala četiri slova možemo rasporediti na [inlmath]4\cdot 3\cdot 2=24[/inlmath] načina. Ukupno: [inlmath]6\cdot 24=\enclose{box}{144}[/inlmath] načina.

Dakle, ukupno permutacija sa makar jednim samoglasnikom na jednom od prva tri mesta imamo [inlmath]2592+3456+144=\enclose{box}{6192}[/inlmath].

Ovo daleko premašuje vaše rešenje... gde sam zeznuo?

Pošto mi je Daniel ovde ukazao na to kako se pravilno rešavaju ovakvi zadaci, evo da ispišem dobar postupak.

Dakle, od ukupnog broja permutacija koje iznose [inlmath]7![/inlmath], treba oduzeti ukupan broj permutacija bez i jednog samoglasnika na nekom od prva tri mesta. To se može izračunati na sledeći način. Na prva tri mesta suglasnike možemo postaviti na [inlmath]4\cdot 3\cdot 2=24[/inlmath] načina. Ostala četiri slova se mogu rasporediti na [inlmath]4\cdot 3\cdot 2=24[/inlmath] načina. Što znači da ukupno imamo [inlmath]24^2[/inlmath] načina da rasporedimo slova, a da nijedan samoglasnik ne bude nekom od prva tri mesta.

Oduzmemo li to od [inlmath]7![/inlmath], dobićemo [inlmath]4464[/inlmath], što odgovara [inlmath]186\cdot 4![/inlmath].

Valjda sam konačno sam ukapirao...

To je sasvim OK, i to je, zapravo, način koji sam ja i pokazao (treći post u ovoj temi). Ali, sasvim je dobar i tvoj postupak iz tvog prethodnog posta – rezultati za prvi i za treći slučaj su ti OK, jedino što si napravio grešku pri računanju za drugi slučaj, u delu

stevan95 je napisao:A na koliko načina možemo odabrati ta dva samoglasnika? Njih možemo odabrati na [inlmath]3\cdot 2=6[/inlmath] načina.

Dva od ukupno tri samoglasnika možemo odabrati na isto onoliko načina na koliko možemo izostaviti jedan od ta tri samoglasnika. Znači, ne na [inlmath]3\cdot 2[/inlmath], već na [inlmath]3[/inlmath] načina. Uostalom, to dobijemo i ako računamo broj kombinacija od [inlmath]3[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase, tj. [inlmath]C_3^2={3\choose 2}=3[/inlmath].

Inače, nema potrebe za ispisivanjem svih ovih slučajeva,

stevan95 je napisao:Pošto dva samoglasnika možemo rasporediti na sledeće načine: [inlmath]X_1X_2Y[/inlmath], [inlmath]X_2X_1Y[/inlmath], [inlmath]X_1YX_2[/inlmath], [inlmath]X_2YX_1[/inlmath], [inlmath]YX_2X_1[/inlmath] i [inlmath]YX_1X_2[/inlmath], to znači da automatski imamo [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti.

sve se to vrlo lako može rešiti gotovim formulama:
[inlmath]C_3^2[/inlmath] – broj načina na koje od ukupno [inlmath]3[/inlmath] samoglasnika možemo izabrati [inlmath]2[/inlmath];
[inlmath]C_4^1[/inlmath] – broj načina na koje od ukupno [inlmath]4[/inlmath] suglasnika možemo izabrati jedan;
[inlmath]P_3[/inlmath] – i još broj permutacija tako izabrana prva [inlmath]3[/inlmath] slova.
Znači, u tom drugom slučaju prva [inlmath]3[/inlmath] slova možemo izabrati na [inlmath]C_3^2\cdot C_4^1\cdot P_3[/inlmath] načina.

I, kad se to pomnoži brojem načina na koji se mogu izabrati i preostala [inlmath]4[/inlmath] slova, dobije se ukupan broj načina za drugi slučaj:
[dispmath]C_3^2\cdot C_4^1\cdot P_3\cdot P_4=\cdots =1728[/dispmath]
što je dvaput manje od rezultata koji si ti dobio za drugi slučaj. Očekivano, budući da ti je jedina greška bila to što si za jedan činilac tog proizvoda napisao [inlmath]3\cdot 2[/inlmath] umesto [inlmath]3[/inlmath].

Znači, za drugi slučaj si dobio rezultat koji je za [inlmath]1728[/inlmath] veći od tačnog, pa ti je, logično, i konačno rešenje (zbir rezultata sva tri slučaja) za [inlmath]1728[/inlmath] bilo veće od onog rešenja koje smo mi dobili (umesto [inlmath]4464[/inlmath] bio si dobio [inlmath]6192[/inlmath]).