MATEMANIJA

U razvoju [inlmath]\left(\sqrt3+\sqrt[3]2\right)^n[/inlmath], gde je [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], binomni koeficijent treceg clana je [inlmath]1005[/inlmath] puta veci od binomnog koeficijenta drugog clana. Broj clanova u tom razvoju koji su racionalni brojevi je:

U resenju stoji da ih ima [inlmath]335[/inlmath], a ja dobijem [inlmath]336[/inlmath], pa mi nije jasno zasto gresim?

Dobijem da je [inlmath]n=0[/inlmath] i [inlmath]n=2011[/inlmath]
Kada podelim [inlmath]\frac{2011}{6}=335,17[/inlmath]
Na [inlmath]335[/inlmath] dodam [inlmath]1[/inlmath](nula) i dobijem [inlmath]336[/inlmath], ali to nije tacno, a ja ne znam zbog cega, posto se uvek povecava za jedan.

Prilično bi nam uštedela vreme i trud ako bi priložila svoj postupak, ne bilo ti zapoveđeno.

[dispmath]{n\choose2}=1005{n\choose1}\\
\frac{n(n-1)}{2}=1005n\\
n^2-n=2010n\\
n^2-2011n=0\\
n(n-2011)=0\\
n=0\quad\lor\quad n=2011[/dispmath]

[dispmath]\left(\sqrt 3+\sqrt[3]2\right)^{2011}[/dispmath]
[dispmath]{2011\choose k}\left(\sqrt 3\right)^{2011-k}{\left(\sqrt[3]2\right)^k}[/dispmath]
[dispmath]{2011\choose k}3^\frac{2011-k}{2}2^\frac{k}{3}[/dispmath]
E sad, clanovi ce biti racionalni ako su im eksponenti celi brojevi:
[dispmath]\frac{2011-k}{2}=n\hspace{7em}\frac{k}{3}=n[/dispmath]
[dispmath]1\le k\le 2011\hspace{7em}0\le k\le 2010[/dispmath]
[dispmath]0\le n\le 1005\hspace{7em}0\le n\le 670[/dispmath]
[dispmath]n=1005-670[/dispmath]
[dispmath]n=335[/dispmath]

Bi mogao da objasniš ovaj crveno obojeni korak, nikako ne uspevam da provalim, a zaista bi me zanimao i taj način...

forzajuve je napisao:[dispmath]{\frac{2011-k}{2}}=n\hspace{7em}\frac{k}{3}=n[/dispmath]
[dispmath]1\le k\le 2011\hspace{7em}0\le k\le 2010[/dispmath]
[dispmath]0\le n\le 1005\hspace{7em}0\le n\le 670[/dispmath]
[dispmath]\color{red}n=1005-670[/dispmath]
[dispmath]n=335[/dispmath]

Zbog čega smo izvršili oduzimanje ta dva broja?

Evo načina na koji bih ja to uradio:[dispmath]{\frac{2011-k}{2}}=n\qquad \frac{k}{3}=n[/dispmath][dispmath]2011-k=2n\qquad k=3n[/dispmath][dispmath]k=2n-2011\qquad k=3n[/dispmath][dispmath]k=2n+1\qquad k=3n[/dispmath]što znači, [inlmath]k[/inlmath] mora biti neparan broj deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], tj.[dispmath]k=3\left(2n+1\right)=6n+3[/dispmath]Prvi broj od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2011[/inlmath] koji zadovoljava taj uslov je [inlmath]3[/inlmath], a poslednji je [inlmath]2007[/inlmath].[dispmath]6n+3\mathop=3\quad\Rightarrow\quad n=0[/dispmath][dispmath]6n+3=2007\quad\Rightarrow\quad n=\frac{2004}{6}=334[/dispmath]Od [inlmath]k=0[/inlmath] do [inlmath]k=334[/inlmath] ima ukupno [inlmath]335[/inlmath] brojeva, tako da [inlmath]335[/inlmath] predstavlja odgovor.

Daniel je napisao:Bi mogao da objasniš ovaj crveno obojeni korak, nikako ne uspevam da provalim, a zaista bi me zanimao i taj način...

Ja sam posebno racunao prvi cinilac a posebno drugi, pa sam posle trazio "presek" (da ga tako nazovem) tih resenja. Uz opsti uslov da, kao sto si ti napisao, da [inlmath]k[/inlmath] mora biti deljiv sa tri i da bude neparan broj.
[dispmath]1\le k\le 2011\hspace{7em}0\le k\le 2010[/dispmath]
iz ovog gore sa leve strane je "[inlmath]k[/inlmath]" samo neparan broj, a iz ovog sa desne "[inlmath]k[/inlmath]" je broj deljiv sa tri (i paran i neparan). Kada su ispunjena ova dva uslova onda dobijamo da je "[inlmath]n[/inlmath]":
[dispmath]0\le n\le 1005\hspace{7em}0\le n\le 670[/dispmath]
Sa leve strane imamo sve brojeve (neparne i parne) a i sa desne sve brojeve (parne i neparne) i kada oduzmemo dobijamo da je [inlmath]n=335[/inlmath].
E sad mozda sam trebao da napisem[dispmath]n=1006-671=335[/dispmath]posto nulu nisam racunao ni sa leve strane ni sa desne (ali to nije toliko vazno jer sam je otpisao sa obe strane)

Sve je meni jasno do ovog koraka

forzajuve je napisao:i kada oduzmemo dobijamo da je [inlmath]n=335[/inlmath].
E sad mozda sam trebao da napisem[dispmath]n=1006-671=335[/dispmath]posto nulu nisam racunao ni sa leve strane ni sa desne (ali to nije toliko vazno jer sam je otpisao sa obe strane)

ali mi nije jasno zašto vršimo oduzimanje, tj. zbog čega oduzimamo [inlmath]670[/inlmath] od [inlmath]1005[/inlmath] (ili [inlmath]671[/inlmath] od [inlmath]1006[/inlmath], kako god)?

Da bi obuhvatili samo racionalne brojeve posto se to trazi u zadatku.