Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod salesh » Utorak, 25. Jun 2013, 15:38

[dispmath]\left(\sqrt[3]5+\sqrt 3\right)^{2011}[/dispmath]
broj racionalnih clanova ? Ne kapiram postupak...
salesh  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod Daniel » Utorak, 25. Jun 2013, 16:37

Radi se tako što primeniš formulu za opšti član razvoja [inlmath]\left(a+b\right)^n[/inlmath] koja glasi [inlmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath], gde [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath], središ taj izraz, pa postaviš uslov da svi eksponenti moraju biti celi brojevi...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod salesh » Utorak, 25. Jun 2013, 18:41

Dodjem do onog dela kad imam
[inlmath]\frac{2011-k}{3}=n[/inlmath] i [inlmath]\frac{k}{2}=n[/inlmath] i ne znam dalje kako da postavim... :S
salesh  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod Daniel » Utorak, 25. Jun 2013, 19:10

Dosadašnji postupak ti je ispravan, sada iz [inlmath]\frac{2011-k}{3}=n[/inlmath] imamo da je [inlmath]2011-k=3n[/inlmath], tj. [inlmath]k=-3n+2011[/inlmath], što je isto kao i [inlmath]k=3n+2011[/inlmath], a pošto je [inlmath]2011=2010+1=3n+1[/inlmath], biće i [inlmath]k=3n+1[/inlmath].
Pošto na osnovu [inlmath]\frac{k}{2}=n[/inlmath] zaključimo da istovremeno važi i [inlmath]k=2n[/inlmath], to znači da je [inlmath]k[/inlmath] paran broj, tj. da je [inlmath]3n+1[/inlmath] paran broj, što znači da [inlmath]n[/inlmath] mora biti neparan broj, tj. [inlmath]k=3\left(2n-1\right)+1[/inlmath] gde je ovo sada neko novo [inlmath]n[/inlmath] koje predstavlja bilo koji ceo broj (i paran i neparan). Odatle dobijamo [inlmath]k=6n-3+1[/inlmath], tj. [inlmath]k=6n-2[/inlmath].

Pošto [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2011[/inlmath], posmatramo koliko ima celih brojeva u tom intervalu koji zadovoljavaju uslov [inlmath]k=6n-2[/inlmath].

Najmanji broj iz intervala [inlmath]\left[0,2011\right][/inlmath] koji zadovoljava uslov [inlmath]k=6n-2[/inlmath] jeste [inlmath]4[/inlmath], za [inlmath]n=1[/inlmath].
Najveći broj iz intervala [inlmath]\left[0,2011\right][/inlmath] koji zadovoljava uslov [inlmath]k=6n-2[/inlmath] jeste [inlmath]2008[/inlmath], za [inlmath]n=335[/inlmath].
Pošto [inlmath]n[/inlmath] ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]335[/inlmath], zaključujemo da ima ukupno [inlmath]335[/inlmath] racionalnih članova.

A baci pogled i na ovaj zadatak, tu smo imali vrlo sličan slučaj ovome... :)


P.S. Kad razlomak pišeš u jednom redu, u obliku teksta, obavezno koristi zagrade, kako bi se znalo šta je u brojiocu a šta u imeniocu. Znači, ne 2011-k/3=n već (2011-k)/3=n, jer bi 2011-k/3=n bilo isto što i 2011-(k/3)=n, zbog prioriteta deljenja u odnosu na oduzimanje. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod salesh » Utorak, 25. Jun 2013, 19:43

Hvala vam puno na pomoci ! :)
Ako stignete
[inlmath]4\sin x+3\cos x=a[/inlmath] ima realna resenja samo ako [inlmath]a[/inlmath] pripada intervalu
i
[inlmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/inlmath] ima [inlmath]4[/inlmath] realna resenja samo ako [inlmath]a[/inlmath] pripada intervalu
Poz :)
salesh  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod Daniel » Utorak, 25. Jun 2013, 20:21

Ovaj drugi smo već imali, potpuno identičan, rešen je ovde. :)

A prvi sam turio u „Trigonometriju“, pošto ni on s kombinatorikom nema baš mnogo veze... ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod stevan95 » Nedelja, 01. Jun 2014, 16:12

Imam par pitanja u vezi sa Danielovim rešenjem zadatka.



a) Zbog čega ta dva eksponenta izjednačavamo sa [inlmath]n[/inlmath]? Je l' to neki prihvaćeni način rađenja ovakvih zadataka (pošto u zbirci nisam sreo takav postupak)?

b) Zbog čega je [inlmath]k=-3n+2011[/inlmath] isto što i [inlmath]k=3n+2011[/inlmath]?

Uf, tek mi ovo nije jasno. :)
c) Daniele, šta si mislio pod ovim:
a pošto je [inlmath]2011=2010+1=3n+1[/inlmath], biće i [inlmath]k=3n+1[/inlmath].
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 71 puta

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod Milovan » Nedelja, 01. Jun 2014, 17:45

Opšti član razvoja je:
[dispmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k={2011\choose k}{\sqrt[3]5}^{2011-k}{\sqrt{3}}^k={2011\choose k}5^{\frac{2011-k}{3}}3^{\frac{k}{2}}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]2011\choose k[/inlmath] racionalan za svako [inlmath]k[/inlmath], ostaje da se postigne da brojevi [inlmath]\frac{2011-k}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{k}{2}[/inlmath] budu celi.
Dakle, [inlmath]k[/inlmath] treba da bude deljivo sa [inlmath]2[/inlmath], a [inlmath]2011-k[/inlmath] sa [inlmath]3[/inlmath].
Pošto je [inlmath]2011=2010+1-k[/inlmath], potrebno je da [inlmath]1-k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Ako je sa [inlmath]3[/inlmath] deljivo [inlmath]1-k[/inlmath] onda je sa [inlmath]3[/inlmath] deljivo i [inlmath]k-1[/inlmath].
Dakle, treba da prebrojimo koliko ima brojeva do [inlmath]2011[/inlmath] koji su parni a kojim je prethodnik deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
Primetimo da je prvi takav broj [inlmath]4[/inlmath], drugi [inlmath]10[/inlmath], treći [inlmath]16[/inlmath], itd. Opšti oblik ovih brojeva je [inlmath]6m-2[/inlmath].
Nađimo za koje vrednosti prirodnog broja [inlmath]m[/inlmath] vrednost [inlmath]k[/inlmath] neće da premaši [inlmath]2011[/inlmath].
Iz [inlmath]6m-2\le 2011[/inlmath] se dobije [inlmath]6m\le 2013[/inlmath], tj. [inlmath]m\le 335,5[/inlmath], a kako je [inlmath]m[/inlmath] ceo broj, zaključujemo da [inlmath]m[/inlmath] može imati vrednosti [inlmath]m\in\{1,2,3,\dots ,335\}[/inlmath]

E sad, što se tiče pitanja koja imaš... Ovo što je Daniel radio je imalo za cilj da pronađe opšti oblik broja [inlmath]k[/inlmath] (dakle, [inlmath]6m-2[/inlmath]).
Možda ti je malo zbunjujuća činjenica što je [inlmath]\frac{2011-k}{3}[/inlmath] izjednačio sa [inlmath]n[/inlmath], ali to nije ono [inlmath]n[/inlmath] iz [inlmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath], već jednostavno neki prirodan broj...
A sad redom:
a)
To nije isto [inlmath]n[/inlmath], poenta je da je [inlmath]2011-k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], a [inlmath]k[/inlmath] sa [inlmath]2[/inlmath]. Pa se onda deljenjem s tim brojevima dobije prirodan broj... (koji je Daniel obeležio sa [inlmath]n[/inlmath] oba puta, iako to nije isti prirodan broj)
b)
Algebarski to svakako nije isto. Ali, pazi, zahtev nam je da [inlmath]2011-k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. Primeti da je [inlmath]2011-(-3n+2011)=3n[/inlmath], što je deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], ali je isto tako i [inlmath]2011-(3n+2011)=-3n[/inlmath], što je takođe deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
c)
Rekli smo da je [inlmath]k=2011+3n=2010+1+3n=2010+3n+1=3(n+670)+1=3p+1[/inlmath] E sad, Daniel je tu [inlmath]n+670[/inlmath] zamenio sa [inlmath]n[/inlmath]- u smislu opet neki prirodan broj, iako ne isti prirodan broj. Dakle, pokušava da pronađe opšti oblik broja [inlmath]k[/inlmath].

Možda zbunjujuće deluje to što je Daniel sve prirodne brojeve beležio sa [inlmath]n[/inlmath] iako ti brojevi obeleženi istim simbolom mogu da imaju razne vrednosti u kontekstu ovog razmišljanja. Ali poenta je sledeća: prvo je ustanovio da je oblik ovog broja [inlmath]k=3p+1[/inlmath], onda je zaključio da [inlmath]p[/inlmath] mora biti neparan pa se može pisati kao [inlmath]p=2m-1[/inlmath], i da je samim tim [inlmath]k=3(2m-1)+1=6m-2[/inlmath].
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

Re: Broj racionalnih clanova u razvoju binoma

Postod Daniel » Nedelja, 01. Jun 2014, 21:22

Da, sada kad sam opet čitao svoj post od pre skoro godinu dana, ni meni nije jasno zašto sam za sve te različite vrednosti prirodnih brojeva koristio istu oznaku, [inlmath]n[/inlmath], što zaista može stvoriti zabunu. Nadam se da je posle Milovanovog objašnjenja, koje je sasvim tačno, otklonjen nesporazum. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 52 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 12:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs