Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Razvoj binoma [16/2011] ETF

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Razvoj binoma [16/2011] ETF

Postod maxaa » Sreda, 26. Jun 2013, 22:28

16. U razvoju binoma [inlmath]\left(x+y\right)^n\;\left(x,y\in\mathbb{R},\:n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath] drugi član je jednak [inlmath]240[/inlmath], treći član [inlmath]720[/inlmath] a četvrti [inlmath]1080[/inlmath]. Tada je zbir [inlmath]x+y+n[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;11\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;9\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;10\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;25\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;280\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Pretpostavljam da ima veze sa progresijama, ali ne uspevam da resim.
[inlmath](x+y)^n[/inlmath] napisem u opstem obliku za razvoj binoma al opet slaba vajda.
Kako da ga resim? :angry-banghead:
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Razvoj binoma [16/2011] ETF

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Jun 2013, 00:54

A šta će ti opšti član? :) Dati su ti, konkretno, drugi, treći i četvrti član, pa njih i pišemo:[dispmath]\begin{array}{l}
{n\choose 1}x^{n-1}y=240\\
{n\choose 2}x^{n-2}y^2=720\\
{n\choose 3}x^{n-3}y^3=1080
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}
nx^{n-1}y=240 \\
\frac{n\left(n-1\right)}{2}x^{n-2}y^2=720\quad /\cdot 2 \\
\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}x^{n-3}y^3=1080\quad /\cdot 6
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}
nx^{n-1}y=240 & \left(1\right) \\
n\left(n-1\right)x^{n-2}y^2=1440 & \left(2\right) \\
n\left(n-1\right)\left(n-2\right)x^{n-3}y^3=6480 & \left(3\right)
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(2\right)}{\left(1\right)}\quad\Rightarrow\quad\frac{\cancel n\left(n-1\right)x^{n-2}y^2}{\cancel nx^{n-1}y}=\frac{1440}{240}=6[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left(n-1\right)\frac{y}{x}=6\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{x}=\frac{6}{n-1}\quad\left(4\right)[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(3\right)}{\left(2\right)}\quad\Rightarrow\quad\frac{\cancel n\cancel{\left(n-1\right)}\left(n-2\right)x^{n-3}y^3}{\cancel n\cancel{\left(n-1\right)}x^{n-2}y^2}=\frac{6480}{1440}=\frac{9}{2}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left(n-2\right)\frac{y}{x}=\frac{9}{2}\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{x}=\frac{9}{2\left(n-2\right)}\quad\left(5\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(4\right),\left(5\right)\quad\Rightarrow\quad\frac{6}{n-1}=\frac{9}{2\left(n-2\right)}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\underline{n=5}\quad\left(6\right)[/dispmath]Sada [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] ili u [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i dobijemo da je [inlmath]\frac{y}{x}=\frac{3}{2}[/inlmath], a zatim [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], nakon čega imamo sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]... Njegovim rešavanjem se dobije [inlmath]x=2[/inlmath], [inlmath]y=3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Razvoj binoma [16/2011] ETF

Postod maxaa » Četvrtak, 27. Jun 2013, 01:07

Daniel je napisao:A šta će ti opšti član? :) Dati su ti, konkretno, drugi, treći i četvrti član, pa njih i pišemo:[dispmath]\begin{array}{l}
{n\choose 1}x^{n-1}y=240\\
{n\choose 2}x^{n-2}y^2=720\\
{n\choose 3}x^{n-3}y^3=1080
\end{array}[/dispmath]

Do ovde sam dosao bio (primenom formule za opsti clan :)), ali se nikad ne bih setio da trazim njihov odnos kako bih dosao do resenja. :(
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Razvoj binoma [16/2011] ETF

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Jun 2013, 01:26

Pa, i sam si lepo primetio da ovi izrazi s leve strane podsećaju na geometrijsku progresiju... I bili bi geometrijska progresija, da nije ovih binomnih koeficijenata koji to „kvare“... :mrgreen:
Pa kad pogledaš ove članove s [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] kako su se lepo poređali, nekako ti se prirodno nameće da potražiš njihov odnos... ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Razvoj binoma [16/2011] ETF

Postod maxaa » Četvrtak, 27. Jun 2013, 01:33

Hehe, malo sam ja takvih zadataka odradio, da bih to primetio, pogotovo sto se sad prvi put susrecem i sa progresijama i sa binomnom formulom :)
Gubio sam dosta casova iz matematike u skoli, zbog toga sto nam je profesorka cesto bila bolesna, a nismo imali neku adekvatnu zamenu. I zato ja sad muku mucim :)
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 13:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs