MATEMANIJA

16. U razvoju binoma [inlmath]\left(x+y\right)^n\;\left(x,y\in\mathbb{R},\:n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath] drugi član je jednak [inlmath]240[/inlmath], treći član [inlmath]720[/inlmath] a četvrti [inlmath]1080[/inlmath]. Tada je zbir [inlmath]x+y+n[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;11\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;9\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;10\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;25\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;280\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Pretpostavljam da ima veze sa progresijama, ali ne uspevam da resim.
[inlmath](x+y)^n[/inlmath] napisem u opstem obliku za razvoj binoma al opet slaba vajda.
Kako da ga resim?

A šta će ti opšti član? Dati su ti, konkretno, drugi, treći i četvrti član, pa njih i pišemo:[dispmath]\begin{array}{l}
{n\choose 1}x^{n-1}y=240\\
{n\choose 2}x^{n-2}y^2=720\\
{n\choose 3}x^{n-3}y^3=1080
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}
nx^{n-1}y=240 \\
\frac{n\left(n-1\right)}{2}x^{n-2}y^2=720\quad /\cdot 2 \\
\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}x^{n-3}y^3=1080\quad /\cdot 6
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}
nx^{n-1}y=240 & \left(1\right) \\
n\left(n-1\right)x^{n-2}y^2=1440 & \left(2\right) \\
n\left(n-1\right)\left(n-2\right)x^{n-3}y^3=6480 & \left(3\right)
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(2\right)}{\left(1\right)}\quad\Rightarrow\quad\frac{\cancel n\left(n-1\right)x^{n-2}y^2}{\cancel nx^{n-1}y}=\frac{1440}{240}=6[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left(n-1\right)\frac{y}{x}=6\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{x}=\frac{6}{n-1}\quad\left(4\right)[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(3\right)}{\left(2\right)}\quad\Rightarrow\quad\frac{\cancel n\cancel{\left(n-1\right)}\left(n-2\right)x^{n-3}y^3}{\cancel n\cancel{\left(n-1\right)}x^{n-2}y^2}=\frac{6480}{1440}=\frac{9}{2}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left(n-2\right)\frac{y}{x}=\frac{9}{2}\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{x}=\frac{9}{2\left(n-2\right)}\quad\left(5\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(4\right),\left(5\right)\quad\Rightarrow\quad\frac{6}{n-1}=\frac{9}{2\left(n-2\right)}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\underline{n=5}\quad\left(6\right)[/dispmath]Sada [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] ili u [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i dobijemo da je [inlmath]\frac{y}{x}=\frac{3}{2}[/inlmath], a zatim [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], nakon čega imamo sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]... Njegovim rešavanjem se dobije [inlmath]x=2[/inlmath], [inlmath]y=3[/inlmath].

Daniel je napisao:A šta će ti opšti član? Dati su ti, konkretno, drugi, treći i četvrti član, pa njih i pišemo:[dispmath]\begin{array}{l}
{n\choose 1}x^{n-1}y=240\\
{n\choose 2}x^{n-2}y^2=720\\
{n\choose 3}x^{n-3}y^3=1080
\end{array}[/dispmath]

Do ovde sam dosao bio (primenom formule za opsti clan ), ali se nikad ne bih setio da trazim njihov odnos kako bih dosao do resenja.

Pa, i sam si lepo primetio da ovi izrazi s leve strane podsećaju na geometrijsku progresiju... I bili bi geometrijska progresija, da nije ovih binomnih koeficijenata koji to „kvare“...
Pa kad pogledaš ove članove s [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] kako su se lepo poređali, nekako ti se prirodno nameće da potražiš njihov odnos...

Hehe, malo sam ja takvih zadataka odradio, da bih to primetio, pogotovo sto se sad prvi put susrecem i sa progresijama i sa binomnom formulom
Gubio sam dosta casova iz matematike u skoli, zbog toga sto nam je profesorka cesto bila bolesna, a nismo imali neku adekvatnu zamenu. I zato ja sad muku mucim