maxaa je napisao:Znam da trocifrenih sa istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath] i da kad od [inlmath]999[/inlmath] oduzmem to dobijem [inlmath]990[/inlmath], sto mi je ustvari broj trocifrenih brojeva koji nemaju sve tri iste cifre
E, neće biti. Tačno je da trocifrenih brojeva s istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath]: [inlmath]111,222,\ldots,999[/inlmath], ali nisi vodio računa o tome da [inlmath]999[/inlmath] nije ukupan broj samo trocifrenih brojeva, jer si njime obuhvatio i one brojeve koji počinju nulom i koji, samim tim, nisu trocifreni. [inlmath]999[/inlmath] bi, zapravo, bio zbir broja jednocifrenih, broja dvocifrenih i broja trocifrenih brojeva. To jest, [inlmath]9[/inlmath] (broj jednocifrenih) [inlmath]+90[/inlmath] (broj dvocifrenih) [inlmath]+900[/inlmath] (broj trocifrenih) [inlmath]=999[/inlmath].
Inače, valja napomenuti da se ovde radi o varijacijama bez ponavljanja, pri čemu bi se striktno korišćenje formule za varijacije bez ponavljanja, zapravo, svelo na postupak koji je Ubavic izložio:
[dispmath]9\cdot V_9^2=9\cdot9\cdot8=648[/dispmath]
A postoji i još jedan način rešavanja (koji ćeš od njih koristiti, potpuno je svejedno): da prvo odredimo broj svih grupacija od tri cifre koje su međusobno različite, a zatim od tog broja oduzmemo broj onih grupacjia kod kojih su cifre takođe međusobno različite, ali kojima je prva cifra [inlmath]0[/inlmath].
Broj svih grupacija od tri cifre koje su međusobno različite predstavlja varijacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]V_{10}^3=\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{10!}{7!}=10\cdot9\cdot8[/dispmath]
Broj onih grupacjia kod kojih su cifre međusobno različite i kojima je prva cifra [inlmath]0[/inlmath] određujemo kao broj mogućnosti na koje se preostalih [inlmath]9[/inlmath] cifara (nula je već iskorišćena) mogu raspodeliti na preostala [inlmath]2[/inlmath] mesta bez ponavljanja. Znači, to je broj varijacija od [inlmath]9[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]V_9^2=\frac{9!}{\left(9-2\right)!}=\frac{9!}{7!}=9\cdot8[/dispmath]
Dakle, od prvog broja oduzmemo drugi:
[dispmath]V_{10}^3-V_9^2=10\cdot9\cdot8-9\cdot8=\left(10-1\right)\cdot9\cdot8=9\cdot9\cdot8[/dispmath]
a to već i bez izračunavanja vidimo da je identično rezultatu koji je i Ubavic dobio.