Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Trocifreni brojevi s razlicitim ciframa ETF [18/2010]

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Trocifreni brojevi s razlicitim ciframa ETF [18/2010]

Postod maxaa » Četvrtak, 27. Jun 2013, 01:49

18. Trocifrenih brojeva, u čijem zapisu su sve tri cifre različite, ima:
[inlmath](A)\;728\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;720\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;642\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;648\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;450\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Znam da trocifrenih sa istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath] i da kad od [inlmath]999[/inlmath] oduzmem to dobijem [inlmath]990[/inlmath], sto mi je ustvari broj trocifrenih brojeva koji nemaju sve tri iste cifre, ali kako naci one koji imaju sve razlicite?
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Trocifreni brojevi s razlicitim ciframa ETF [18/2010]

Postod ubavic » Četvrtak, 27. Jun 2013, 09:55

Trocifreni broj je oblika [inlmath]\overline{abc}[/inlmath]. Umesto cifre [inlmath]a[/inlmath] mogu se naći svi brojevi od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath], tj. može se naći ukupno devet brojeva. Na mestu cifre [inlmath]b[/inlmath] mogu se naći sve cifre (uključujuči i [inlmath]0[/inlmath]), osim cifre koja se našla na prvom mestu tj. može se naći [inlmath]9[/inlmath] cifara. Na mestu cifre [inlmath]c[/inlmath] mogu se naći samo one cifre koje nisu bile na prva dva mesta, a takvih ima [inlmath]8[/inlmath].
Sada sve to množiš:
[dispmath]9\cdot9\cdot8=648[/dispmath]
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 589
Zahvalio se: 375 puta
Pohvaljen: 588 puta

  • +2

Re: Trocifreni brojevi s razlicitim ciframa ETF [18/2010]

Postod Daniel » Četvrtak, 27. Jun 2013, 10:37

maxaa je napisao:Znam da trocifrenih sa istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath] i da kad od [inlmath]999[/inlmath] oduzmem to dobijem [inlmath]990[/inlmath], sto mi je ustvari broj trocifrenih brojeva koji nemaju sve tri iste cifre

E, neće biti. Tačno je da trocifrenih brojeva s istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath]: [inlmath]111,222,\ldots,999[/inlmath], ali nisi vodio računa o tome da [inlmath]999[/inlmath] nije ukupan broj samo trocifrenih brojeva, jer si njime obuhvatio i one brojeve koji počinju nulom i koji, samim tim, nisu trocifreni. [inlmath]999[/inlmath] bi, zapravo, bio zbir broja jednocifrenih, broja dvocifrenih i broja trocifrenih brojeva. To jest, [inlmath]9[/inlmath] (broj jednocifrenih) [inlmath]+90[/inlmath] (broj dvocifrenih) [inlmath]+900[/inlmath] (broj trocifrenih) [inlmath]=999[/inlmath].

Inače, valja napomenuti da se ovde radi o varijacijama bez ponavljanja, pri čemu bi se striktno korišćenje formule za varijacije bez ponavljanja, zapravo, svelo na postupak koji je Ubavic izložio:
[dispmath]9\cdot V_9^2=9\cdot9\cdot8=648[/dispmath]
A postoji i još jedan način rešavanja (koji ćeš od njih koristiti, potpuno je svejedno): da prvo odredimo broj svih grupacija od tri cifre koje su međusobno različite, a zatim od tog broja oduzmemo broj onih grupacjia kod kojih su cifre takođe međusobno različite, ali kojima je prva cifra [inlmath]0[/inlmath].
Broj svih grupacija od tri cifre koje su međusobno različite predstavlja varijacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]V_{10}^3=\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{10!}{7!}=10\cdot9\cdot8[/dispmath]
Broj onih grupacjia kod kojih su cifre međusobno različite i kojima je prva cifra [inlmath]0[/inlmath] određujemo kao broj mogućnosti na koje se preostalih [inlmath]9[/inlmath] cifara (nula je već iskorišćena) mogu raspodeliti na preostala [inlmath]2[/inlmath] mesta bez ponavljanja. Znači, to je broj varijacija od [inlmath]9[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]V_9^2=\frac{9!}{\left(9-2\right)!}=\frac{9!}{7!}=9\cdot8[/dispmath]
Dakle, od prvog broja oduzmemo drugi:
[dispmath]V_{10}^3-V_9^2=10\cdot9\cdot8-9\cdot8=\left(10-1\right)\cdot9\cdot8=9\cdot9\cdot8[/dispmath]
a to već i bez izračunavanja vidimo da je identično rezultatu koji je i Ubavic dobio.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4731 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 16 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 30. Novembar 2021, 16:29 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs