Trocifreni brojevi s razlicitim ciframa ETF [18/2010]

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 01:49
od maxaa
18. Trocifrenih brojeva, u čijem zapisu su sve tri cifre različite, ima:
[inlmath](A)\;728\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;720\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;642\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;648\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;450\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Znam da trocifrenih sa istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath] i da kad od [inlmath]999[/inlmath] oduzmem to dobijem [inlmath]990[/inlmath], sto mi je ustvari broj trocifrenih brojeva koji nemaju sve tri iste cifre, ali kako naci one koji imaju sve razlicite?

Re: Trocifreni brojevi s razlicitim ciframa ETF [18/2010]

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 09:55
od ubavic
Trocifreni broj je oblika [inlmath]\overline{abc}[/inlmath]. Umesto cifre [inlmath]a[/inlmath] mogu se naći svi brojevi od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath], tj. može se naći ukupno devet brojeva. Na mestu cifre [inlmath]b[/inlmath] mogu se naći sve cifre (uključujuči i [inlmath]0[/inlmath]), osim cifre koja se našla na prvom mestu tj. može se naći [inlmath]9[/inlmath] cifara. Na mestu cifre [inlmath]c[/inlmath] mogu se naći samo one cifre koje nisu bile na prva dva mesta, a takvih ima [inlmath]8[/inlmath].
Sada sve to množiš:
[dispmath]9\cdot9\cdot8=648[/dispmath]

Re: Trocifreni brojevi s razlicitim ciframa ETF [18/2010]

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 10:37
od Daniel
maxaa je napisao:Znam da trocifrenih sa istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath] i da kad od [inlmath]999[/inlmath] oduzmem to dobijem [inlmath]990[/inlmath], sto mi je ustvari broj trocifrenih brojeva koji nemaju sve tri iste cifre

E, neće biti. Tačno je da trocifrenih brojeva s istim ciframa ima [inlmath]9[/inlmath]: [inlmath]111,222,\ldots,999[/inlmath], ali nisi vodio računa o tome da [inlmath]999[/inlmath] nije ukupan broj samo trocifrenih brojeva, jer si njime obuhvatio i one brojeve koji počinju nulom i koji, samim tim, nisu trocifreni. [inlmath]999[/inlmath] bi, zapravo, bio zbir broja jednocifrenih, broja dvocifrenih i broja trocifrenih brojeva. To jest, [inlmath]9[/inlmath] (broj jednocifrenih) [inlmath]+90[/inlmath] (broj dvocifrenih) [inlmath]+900[/inlmath] (broj trocifrenih) [inlmath]=999[/inlmath].

Inače, valja napomenuti da se ovde radi o varijacijama bez ponavljanja, pri čemu bi se striktno korišćenje formule za varijacije bez ponavljanja, zapravo, svelo na postupak koji je Ubavic izložio:
[dispmath]9\cdot V_9^2=9\cdot9\cdot8=648[/dispmath]
A postoji i još jedan način rešavanja (koji ćeš od njih koristiti, potpuno je svejedno): da prvo odredimo broj svih grupacija od tri cifre koje su međusobno različite, a zatim od tog broja oduzmemo broj onih grupacjia kod kojih su cifre takođe međusobno različite, ali kojima je prva cifra [inlmath]0[/inlmath].
Broj svih grupacija od tri cifre koje su međusobno različite predstavlja varijacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]V_{10}^3=\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{10!}{7!}=10\cdot9\cdot8[/dispmath]
Broj onih grupacjia kod kojih su cifre međusobno različite i kojima je prva cifra [inlmath]0[/inlmath] određujemo kao broj mogućnosti na koje se preostalih [inlmath]9[/inlmath] cifara (nula je već iskorišćena) mogu raspodeliti na preostala [inlmath]2[/inlmath] mesta bez ponavljanja. Znači, to je broj varijacija od [inlmath]9[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]V_9^2=\frac{9!}{\left(9-2\right)!}=\frac{9!}{7!}=9\cdot8[/dispmath]
Dakle, od prvog broja oduzmemo drugi:
[dispmath]V_{10}^3-V_9^2=10\cdot9\cdot8-9\cdot8=\left(10-1\right)\cdot9\cdot8=9\cdot9\cdot8[/dispmath]
a to već i bez izračunavanja vidimo da je identično rezultatu koji je i Ubavic dobio.