MATEMANIJA

Broj svih permutacija slova reci FESTIVAL u kojima su slova A i I susedna, a slova I i E nisu susedna jednak je:

Prvo odredimo broj svih permutacija u kojima su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]I[/inlmath] susedna slova, a zatim od tog broja oduzmemo broj permutacija u kojima su slova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]I[/inlmath] susedna i slova [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] susedna.

Broj svih permutacija u kojima su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]I[/inlmath] susedna slova određujemo tako što posmatramo skup [inlmath]\left\{F,E,S,T,V,L,AI\right\}[/inlmath] (slučaj da je [inlmath]I[/inlmath] odmah desno do slova [inlmath]A[/inlmath]) i skup [inlmath]\left\{F,E,S,T,V,L,IA\right\}[/inlmath] (slučaj da je [inlmath]I[/inlmath] odmah levo do slova [inlmath]A[/inlmath]). Za svaki od ta dva skupa nađemo broj permutacija, koji će biti [inlmath]P_7=7![/inlmath] jer ima [inlmath]7[/inlmath] elemenata, pa ih onda saberemo i dobijamo [inlmath]2P_7=2\cdot 7![/inlmath].

Broj permutacija u kojima su slova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]I[/inlmath] susedna i slova [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] susedna određujemo tako što posmatramo skup [inlmath]\left\{F,S,T,V,L,AIE\right\}[/inlmath] (slučaj da se odmah levo do [inlmath]I[/inlmath] nalazi [inlmath]A[/inlmath] a odmah desno do [inlmath]I[/inlmath] nalazi [inlmath]E[/inlmath]) i skup [inlmath]\left\{F,S,T,V,L,EIA\right\}[/inlmath] (slučaj da se odmah levo do [inlmath]I[/inlmath] nalazi [inlmath]E[/inlmath] a odmah desno do [inlmath]I[/inlmath] nalazi [inlmath]A[/inlmath]). Za svaki od ta dva skupa nađemo broj permutacija, koji će biti [inlmath]P_6=6![/inlmath] jer ima [inlmath]6[/inlmath] elemenata, pa ih onda saberemo i dobijamo [inlmath]2P_6=2\cdot 6![/inlmath].

Ono što se traži – broj svih permutacija u kojima su slova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]I[/inlmath] susedna, a slova [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] nisu susedna – dobijamo kao razliku prethodno određenih brojeva permutacija:[dispmath]2P_7-2P_6=2\left(7!-6!\right)=2\left(7\cdot 6!-6!\right)=2\left(7-1\right)6!=12\cdot 6!=12\cdot 720=8640[/dispmath]