MATEMANIJA

Od [inlmath]4[/inlmath] informaticara i [inlmath]6[/inlmath] menadzera treba formirati tim od [inlmath]8[/inlmath] clanova, u kome ce biti bar [inlmath]3[/inlmath] informaticara. Na koliko nacina je to moguce uraditi?

Pošto u timu treba da bude bar [inlmath]3[/inlmath] informatičara, a ukupno ima [inlmath]4[/inlmath] informatičara na raspolaganju, imamo dva slučaja:
[inlmath]1)[/inlmath] u timu će biti [inlmath]3[/inlmath] informatičara i [inlmath]5[/inlmath] menadžera;
[inlmath]2)[/inlmath] u timu će biti [inlmath]4[/inlmath] informatičara i [inlmath]4[/inlmath] menadžera.

[inlmath]1)[/inlmath] Grupu od [inlmath]3[/inlmath] informatičara možemo dobiti na [inlmath]C_4^3[/inlmath] načina, gde [inlmath]C_4^3[/inlmath] predstavlja broj kombinacija od [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]3.[/inlmath] klase. Grupu od [inlmath]5[/inlmath] menadžera možemo dobiti na [inlmath]C_6^5[/inlmath] načina, gde [inlmath]C_6^5[/inlmath] predstavlja broj kombinacija od [inlmath]6[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase. Množenjem broja ovih dveju kombinacija dobijamo broj načina na koji možemo formirati grupu od [inlmath]3[/inlmath] informatičara i [inlmath]5[/inlmath] menadžera:[dispmath]C_4^3\cdot C_6^5={4\choose 3}\cdot{6\choose 5}=4\cdot 6=24[/dispmath]Isti bismo broj dobili i bez korišćenja kombinacija, malo intuitivnijom metodom: Pošto od [inlmath]4[/inlmath] informatičara treba da odaberemo [inlmath]3[/inlmath], jedan mora da otpadne, a pošto ih ima ukupno [inlmath]4[/inlmath], broj načina na koji će jedan otpasti iznosi [inlmath]4[/inlmath]. Slično i za menadžere – ima ih [inlmath]6[/inlmath] a biramo [inlmath]5[/inlmath], znači, jedan od tih [inlmath]6[/inlmath] mora otpasti, a to se može desiti na [inlmath]6[/inlmath] načina. Pomnožimo [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] i dobijamo [inlmath]24[/inlmath].

[inlmath]2)[/inlmath] Grupu od [inlmath]4[/inlmath] informatičara možemo dobiti na samo [inlmath]1[/inlmath] način, pošto informatičara i ima ukupno [inlmath]4[/inlmath], tako da ih odabriramo sve – to se može i preko kombinacija pokazati, [inlmath]C_4^4={4\choose 4}=1[/inlmath]. Menadžera ima ukupno [inlmath]6[/inlmath] a odabiramo ih [inlmath]4[/inlmath] i to se može učiniti na [inlmath]C_6^4[/inlmath] načina, gde [inlmath]C_6^4[/inlmath] predstavlja broj kombinacija od [inlmath]6[/inlmath] elemenata [inlmath]4.[/inlmath] klase:[dispmath]1\cdot C_6^4={6\choose 4}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15[/dispmath]
Na kraju saberemo broj načina pod [inlmath]1)[/inlmath] i pod [inlmath]2)[/inlmath]:[dispmath]24+15=39[/dispmath]

A evo i drugog načina, pa biraj koji ti se više sviđa.

Pošto biramo tim od [inlmath]8[/inlmath] članova, a imamo na raspolaganju [inlmath]6[/inlmath] menadžera, to znači da minimalan broj upražnjenih mesta, u slučaju da odaberemo svih [inlmath]6[/inlmath] menadžera, iznosi [inlmath]2[/inlmath]. Pošto imamo [inlmath]4[/inlmath] informatičara, to znači da je moguć broj informatičara u timu [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath]. Pošto se u zadatku traži da broj informatičara bude bar [inlmath]3[/inlmath], što znači da ih može biti [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath], jedini slučaj koji nam nije od interesa je taj, kada u timu ima [inlmath]2[/inlmath] informatičara.

Prema tome, do traženog broja mogućnosti možemo doći i tako, što ćemo od ukupnog broja načina na koji [inlmath]10[/inlmath] osoba možemo odabrati u tim od [inlmath]8[/inlmath] članova, oduzeti broj načina na koje možemo odabrati [inlmath]2[/inlmath] informatičara i [inlmath]6[/inlmath] menadžera.

Ukupnan broj načina na koji [inlmath]10[/inlmath] osoba možemo odabrati u tim od [inlmath]8[/inlmath] članova predstavlja broj kombinacija od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]8.[/inlmath] klase i iznosi:[dispmath]C_{10}^8={10\choose 8}=\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{10\cdot 9}{2}=45[/dispmath]
Broj mogućnosti na koje možemo odabrati [inlmath]2[/inlmath] informatičara i [inlmath]6[/inlmath] menadžera svodi se na proizvod broja mogućnosti na koje od [inlmath]6[/inlmath] menadžera možemo odabrati [inlmath]6[/inlmath] menadžera (što je, naravno, [inlmath]1[/inlmath]) i broja mogućnosti na koje možemo od [inlmath]4[/inlmath] informatičara odabrati [inlmath]2[/inlmath] informatičara, što predstavlja broj kombinacija od [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase:[dispmath]1\cdot C_4^2={4\choose 2}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6[/dispmath]
Zatim oduzmemo ta dva broja i dobijamo[dispmath]45-6=39[/dispmath]što je traženi rezultat.

Hvala ti za ovo, a jel mozes malo da mi pojasnis kad se koriste formule za varijacije a kad za kombinacije, posto mi sad nije jasno u ovom primeru je poredak valjda bitan a ti koristis kombinacije? :O

Ne, u ovom primeru poredak upravo nije bitan, jer ne gledamo koje će redno mesto u timu zauzeti koji informatičar/menadžer, već samo gledamo hoće li neki informatičar/menadžer uopšte ući u tim ili neće ući.
Znači, svejedno je da li će sastav tima biti
Pera, Mika, Laza, Marko, Janko, Kiza, Mirko, Slavko
ili
Janko, Mika, Slavko, Pera, Kiza, Marko, Mirko, Laza
ili
Laza, Kiza, Mirko, Marko, Pera, Slavko, Mika, Janko
ili...

Da je poredak bitan, tj. da se radi o nekoj rang-listi pa se gleda i kako su članovi rangirani u toj ekipi, e onda bismo na to gledali kao na varijacije bez ponavljanja.