MATEMANIJA

14. Na koliko načina od [inlmath]2[/inlmath] matematičara i [inlmath]8[/inlmath] inženjera možemo formirati petočlanu komisiju u kojoj će biti bar jedan matematičar?
[inlmath]\enclose{box}{(A)}\;196\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;248\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;70\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;56\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;140\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Ako moze objasnjenje za ovaj zadatak i generalno za ovakve zadatke posto sam primetio da ima dosta na ovu foru, pa pretpostavljam da je "tipski".

Si video možda ovaj zadatak?

Video sam, ali slab sam s kombinatorikom, pogotovo s varijacijama, permutacije znam tu i tamo.
Pokusacu da ga uradim po tom principu, pa ako ne budem uspeo javicu se.

Ja ga sad rešio u glavi, bez olovke ili tastature.
Na potpuno je istom principu kao i taj zadatak s informatičarima i menadžerima, čak je, čini mi se, još lakši. Ako razumeš princip za onaj zadatak, ovaj ćeš uraditi bez ikakvih problema.

Okej, pokusacu.
Ima li nade, da se kombinatorika savlada za dva dana( ), ili da batalim pricu? (Mislim na ovo sto mi treba za prijemni)

Mislim da nije nemoguće. Sve što treba to je da shvatiš smisao permutacija, varijacija i kombinacija, kako da ih prepoznaš u datom slučaju, da znaš formule za svaku od njih i da znaš kako se došlo do tih formula, sa razumevanjem. Razumevanje ti je tu, zapravo, i najbitnije, jer čak i ako ne znaš formule napamet, uz pravilno rezonovanje možeš lako rešiti te zadatke.

Hm, ja poneki uspem da resim bez formule, ali to su uglavnom laki zadaci, mada dolaze na prijemnom.
Odvojicu malo vremena, cisto za ono osnovno.

I, uradi li na kraju ovo zadače? Moja ti je zaista jaka preporuka da ga uradiš sâm, koristeći rezon iz „informatičara i menadžera“, al' ako baš ne ide, viči, pa da pomognemo...

Jos ga nisam radio, kad odradim javljam.

OK, OK... Nisam hteo da te požurujem, nego samo da vidim da l' treba pomoć...

Kad primjeniš kombinatoriku ka u onom drugom zadatku dobit ćeš
[inlmath]2\cdot 70=140[/inlmath]
[inlmath]1\cdot 56=56[/inlmath]

[inlmath]140+56=196[/inlmath]

Nisam dugo napisa neštu tu pa malo uništavam party

Ovako sam probao:

Dakle, u startu imamo dva matematičara u timu, koje možemo izabrati na [inlmath]3[/inlmath] načina (kombinacije).

Zatim prepoznajemo dva slučaja:

Prvi slučaj

Na preostala četiri mesta ubacujemo i poslednjeg matematičara. U tom slučaju inženjere možemo izabrati na [inlmath]C^3_5=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot\cancel{4}\cdot\cancel{3}\cdot 2}{\cancel{3}\cdot\cancel{2^2}}=10[/inlmath] načina.

Dakle imamo [inlmath]3\cdot 10[/inlmath] načina.

Drugi slučaj

Na preostala četiri mesta raspoređujemo samo inženjere na [inlmath]C^4_5=\frac{5!}{(5-4)!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}}{\cancel{3}\cdot\cancel{2}}=20[/inlmath] načina.

Dakle imamo [inlmath]3\cdot 20[/inlmath] načina.

Ukupno: [inlmath]90[/inlmath] načina.

Gde mi je logika popustila?

U tvom postupku mi baš dosta stvari nije jasno, idemo jedno po jedno...

stevan95 je napisao:Dakle, u startu imamo dva matematičara u timu, koje možemo izabrati na [inlmath]3[/inlmath] načina (kombinacije).

Pa, ne, imamo dva matematičara na raspolaganju, a u timu treba da bude bar jedan matematičar, što znači, u timu treba da bude ili samo jedan od ta dva matematičara, ili oba ta matematičara.
A i ne razumem kako si dobio broj od [inlmath]3[/inlmath] načina. Jedino što mi pada na pamet, to je da si kao jedan slučaj posmatrao da je izabran prvi matematičar, kao drugi slučaj da je izabran drugi matematičar, a kao treći slučaj da su izabrana oba matematičara? (Mada to ne bi bio put koji bi nas odveo do ispravnog rešenja.)

stevan95 je napisao:Prvi slučaj

Na preostala četiri mesta ubacujemo i poslednjeg matematičara.

Verovatno si hteo da kažeš da na jedno od preostala četiti mesta ubacijemo poslenjeg matematičara. Pošto je mene ovo u prvom trenutku zbunilo, verovatno bi moglo zbuniti iz druge – to je razlog zbog kojeg ovo napominjem, a ne iz neke želje za cepidlačenjem.

stevan95 je napisao:U tom slučaju inženjere možemo izabrati na [inlmath]C^3_5=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot\cancel{4}\cdot\cancel{3}\cdot 2}{\cancel{3}\cdot\cancel{2^2}}=10[/inlmath] načina.

Zašto [inlmath]C^3_5[/inlmath]? Imamo [inlmath]8[/inlmath], a ne [inlmath]5[/inlmath] inženjera na raspolaganju.

stevan95 je napisao:Dakle imamo [inlmath]3\cdot 10[/inlmath] načina.

Nisam razumeo zbog čega množiš trojkom. Pretpostavljam da ima veze s ona [inlmath]3[/inlmath] načina koja pominješ u prvoj rečenici, al' ja ne uspevam da uočim logiku...

Prethodne dve primedbe/pitanja odnose se i na drugi slučaj.

Nije ni čudo što ti nije jasno – imam zadatak u zbirci, isto sa inženjerima i matematičarima i učinilo mi se da su isti i ispisah postupak za ovaj moj iz zbirke.

Zadatak u mojoj zbirci glasi: Od tri matematičara i pet inženjera treba formirati ekspertski tim od šest članova u kojem će biti bar dva matematičara.

Ima li sad logike moj postupak?

Taman sam još jednom čitao tvoj postupak i pretpostavio da je neki drugi zadatak u pitanju.

Pošto moram da istrčavam iz kuće ovog sekunda, jer već kasnim, pogledaću kad se budem vratio, ako neko u međuvremenu ne bude odgovorio...

Žao mi je, ali ni s takvim tekstom zadatka rezultat ti nije dobar, što se odmah može i videti ako se nađe broj svih kombinacija od [inlmath]8[/inlmath] elemenata ([inlmath]3[/inlmath] matematičara [inlmath]+\;5[/inlmath] inženjera) [inlmath]6.[/inlmath] klase (jer u timu treba da bude [inlmath]6[/inlmath] članova – taj broj je [inlmath]28[/inlmath], a pošto je to ukupan broj, znači da broj onih načina koji su nama od interesa može biti samo manji od [inlmath]28[/inlmath], ne može nikako biti [inlmath]90[/inlmath].

Kad ti se u ovakvim zadacima pojavljuje reč „bar“, tada ne treba da radiš tako što ćeš pretpostavljati da su prvo izabrani oni za koje piše „bar“ pa zatim da raspoređuješ ostale. To će te dovesti do pogrešnog rezultata, kao što se ovde desilo. Recimo, kod računanja za prvi slučaj, prvo si računao na koliko načina se od [inlmath]3[/inlmath] matematičara može izabrati njih [inlmath]2[/inlmath], a zatim si dodao i tog trećeg matematičara, čime si to sveo na slučaj da su od [inlmath]3[/inlmath] matematičara izabrana sva [inlmath]3[/inlmath] što se može postići na samo jedan način, te dobijeni rezultat ne treba množiti sa [inlmath]3[/inlmath].
To bi bilo isto kao kad bih rekao, da za [inlmath]3[/inlmath] kuglice na stolu postoji [inlmath]3[/inlmath] načina na koje ću izabrati sve tri. Zato što, prvo kažem, ima [inlmath]3[/inlmath] načina na koje mogu izabrati dve od te tri kuglice, a zatim izabiram i onu treću. I onda dobijem broj [inlmath]3[/inlmath], što je čak i intuitivno jasno da je pogrešno, jer je sasvim očigledno da postoji samo jedan način na koji ću od tri kuglice izabrati sve tri.

I, sad vidim, napravio si još i grešku pri računanju [inlmath]C_5^4[/inlmath], koji iznosi [inlmath]5[/inlmath], a ne [inlmath]20[/inlmath]. S tom ispravkom, za drugi slučaj bi i dobio tačno rešenje, jer kod njega, nakon pretpostavke o [inlmath]2[/inlmath] prvobitno izabrana matematičara, ne dodaješ nijednog novog matematičara. Ali, kod prvog slučaja, primenom takvog metoda, definitivno dolazi do greške.

Zadatak se može rešiti tako što prvo uočiš da broj izabranih matematičara ne može biti nula, tj. može biti [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], pa zatim radiš ili tako što ćeš od ukupnog broja kombinacija oduzeti broj onih kombinacija u kojem imamo samo jednog matematičara, ili tako što ćeš sabrati broj kombinacija sa [inlmath]2[/inlmath] matematičara i broj kombinacija sa [inlmath]3[/inlmath] matematičara.

Hvala na objašnjenju.

Aj' ovako da probam.

Zadatak se može rešiti tako što prvo uočiš da broj izabranih matematičara ne može biti nula, tj. može biti [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], pa zatim radiš ili tako što ćeš od ukupnog broja kombinacija oduzeti broj onih kombinacija u kojem imamo samo jednog matematičara, ili tako što ćeš sabrati broj kombinacija sa [inlmath]2[/inlmath] matematičara i broj kombinacija sa [inlmath]3[/inlmath] matematičara.

Broj kombinacija sa jednim matematičarem je samo [inlmath]3[/inlmath]?

Da, jer jednog matematičara od ukupno njih [inlmath]3[/inlmath] možeš odabrati na [inlmath]3[/inlmath] načina, a [inlmath]5[/inlmath] raspoloživih inženjera možeš raspodeliti na preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta na samo jedan način.

Dakle, od ukupnog broja kombinacija koje iznose [inlmath]C^6_8=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{\cancelto{4}{8}\cdot 7}{\cancelto{1}{2}}=28[/inlmath] oduzimamo [inlmath]3[/inlmath] i dobijamo [inlmath]25[/inlmath]?