19. zadatak
Broj svih šestocifrenih brojeva koji u zapisu sadrže najmanje dve cifre nula jednak je:
[inlmath]A)\;8146;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\text{B)}}\;73314;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;9\cdot10^4;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;10\cdot9^5;\quad[/inlmath][inlmath]E)\;30240.[/inlmath]
Pošto se u zadatku uzimaju u obzir brojevi u kojima se cifra nula ponavlja, pretpostavićemo mogućnost ponavljanja i ostalih cifara. Ako je u opticaju [inlmath]10[/inlmath] cifara, broj svih šestocifrenih brojeva je [inlmath]9\cdot10^5[/inlmath] (jer nula ne sme biti na prvom mestu). Da bismo rešili zadatak potrebno je od tog broja oduzeti broj šestocfirenih brojeva u kojima se cifra nula ne pojavljuje ili se javlja samo jednom.
- Ako se cifra nula ne pojavljuje nijednom, onda u opticaju na mestu svake cifre imamo po [inlmath]9[/inlmath] mogućnosti, te je broj šestocifrenih brojeva u kojima se cifra nula ne pojavljuje jednak [inlmath]9^6[/inlmath] (varijacije sa ponavljanjem [inlmath]6.[/inlmath] klase od [inlmath]9[/inlmath] elemenata).
- Ako se cifra nula i javlja (i to samo jednom), ona ne sme biti na prvom mestu (na prvom mestu imamo [inlmath]9[/inlmath] mogućnosti). Dakle, cifra nula se može javiti na jednom od preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta, te imamo [inlmath]5[/inlmath] mogućnosti za nulu (kombinacije bez ponavljanja od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]1.[/inlmath] klase). Kada nulu "smestimo", za ostale cifre (njih [inlmath]9[/inlmath]) imamo [inlmath]4[/inlmath] preostala mesta. Time je ukupan broj šestocifrenih brojeva u kojima se cifra nula javlja samo jednom [inlmath]9\cdot5\cdot9^4[/inlmath].
[dispmath]9\cdot10^5-9^6-9\cdot5\cdot9^4=900\:000-81\cdot9^4-45\cdot9^4=900\:000-126\cdot9^4=900\:000-826\:686=73\:314[/dispmath]
Napomena: Ovaj zadatak se mogao rešiti i uzimanjem u razmatranje slučajeva kada se u šestocifrenom broju cifra nula javlja [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath] puta, pri čemu bismo rešenje zadatka dobili kao zbir rezultata svakog pojedinog međuslučaja od ta četiri.