Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
10. zadatak

10. Četvorocifrenih brojeva takvih da im je proizvod cifara [inlmath]0[/inlmath] i da nisu deljivi sa [inlmath]25[/inlmath] ima:
[inlmath]A)\;7200;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2241;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;6741;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;6651;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;2259.[/inlmath]
- Gde grešim?
Ako je proizvod cifara [inlmath]0[/inlmath] to znači da je bar jedna od cifara [inlmath]0[/inlmath]. Ona može biti na [inlmath]2.[/inlmath], [inlmath]3.[/inlmath] Ili [inlmath]4.[/inlmath] mestu.
Broj je deljiv sa [inlmath]25[/inlmath] ako mu je dvocifreni završetak [inlmath]00[/inlmath], [inlmath]25[/inlmath], [inlmath]50[/inlmath] ili [inlmath]75[/inlmath].
Ako je [inlmath]0[/inlmath] na drugom mestu, imam [inlmath]100[/inlmath] mogućnosti za dvocifreni završetak, od [inlmath]00[/inlmath] do [inlmath]99[/inlmath]. Odbacim ona [inlmath]4[/inlmath] i ostaje mi [inlmath]96[/inlmath]. Na prvom mestu mogu staviti bilo koju cifru od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] i dobijam da je ukupan broj takvih brojeva [inlmath]9\cdot96=864[/inlmath].
Ako je [inlmath]0[/inlmath] na trećem mestu, na četvrtom mestu ne mogu staviti samo [inlmath]0[/inlmath] pa za to mesto imam [inlmath]9[/inlmath] mogućnosti. Za prvu i drugu cifru imam [inlmath]9\cdot10=90[/inlmath] pa je ukupno tih brojeva [inlmath]810[/inlmath].
Ako je [inlmath]0[/inlmath] na četvrtom mestu, na trećem ne može biti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath] pa za treće mesto imam [inlmath]8[/inlmath] mogućnosti. Ukupno za ovaj slučaj [inlmath]9\cdot10\cdot8=720[/inlmath].
Kad sve saberem dobijam [inlmath]2394[/inlmath] što nemam ponuđeno kao odgovor.

Našao grešku. Ako je [inlmath]0[/inlmath] na drugom i na trećem mestu, a broj nije deljiv sa [inlmath]25[/inlmath], takvih je [inlmath]81[/inlmath] koje sam brojao dva puta. Ako je [inlmath]0[/inlmath] na drugom i četvrtom mestu, a broj nije deljiv sa [inlmath]25[/inlmath], takvih je [inlmath]72[/inlmath]. [inlmath]0[/inlmath] na trećem i četvrtom mestu nisam ni brojao, pa je odgovor [inlmath]2394-81-72=2241[/inlmath]

Možemo i ovako:

• Na poslednjem mestu nalazi se cifra [inlmath]0[/inlmath]:
  Na prvo mesto možemo staviti bilo koju cifru osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]), na drugo mesto možemo bilo koju (ukupno [inlmath]10[/inlmath]) i na treće mesto bilo koju osim [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] (ukupno [inlmath]8[/inlmath]).
  To je [inlmath]9\cdot10\cdot8=720[/inlmath] mogućnosti.
• Na poslednjem mestu nalazi se cifra [inlmath]5[/inlmath]:
  Izračunaćemo broj svih četvorocifrenih brojeva čija je poslednja cifra [inlmath]5[/inlmath] a nisu deljivi sa [inlmath]25[/inlmath] (nezavisno od toga da li imaju nule ili ne), da bismo zatim od tog broja oduzeli broj takvih brojeva koji nemaju nijednu nulu. Time dobijamo broj onih brojeva čija je poslednja cifra [inlmath]5[/inlmath], koji nisu deljivi sa [inlmath]25[/inlmath] i koji imaju bar jednu nulu.
  Ukupan broj (i s nulama i bez nula): Na prvo mesto možemo staviti bilo koju cifru osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]), na drugo mesto možemo bilo koju (ukupno [inlmath]10[/inlmath]) i na treće mesto bilo koju osim [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath] (ukupno [inlmath]8[/inlmath]).
  Broj onih brojeva koji su bez nula: Na prvo mesto možemo staviti bilo koju cifru osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]), na drugo mesto možemo bilo koju osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]) i na treće mesto bilo koju osim [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath] (ukupno [inlmath]7[/inlmath]).
  To je [inlmath]9\cdot10\cdot8-9\cdot9\cdot7=153[/inlmath] mogućnosti.
• Na poslednjem mestu ne nalazi se ni cifra [inlmath]0[/inlmath] ni cifra [inlmath]5[/inlmath]:
  Izračunaćemo broj svih četvorocifrenih brojeva čija poslednja cifra nije ni [inlmath]0[/inlmath] ni [inlmath]5[/inlmath] (nezavisno od toga da li imaju nule ili ne), da bismo zatim od tog broja oduzeli broj takvih brojeva koji nemaju nijednu nulu. Time dobijamo broj onih brojeva čija poslednja cifra nije ni [inlmath]0[/inlmath] ni [inlmath]5[/inlmath], a koji imaju bar jednu nulu.
  Ukupan broj (i s nulama i bez nula): Na prvo mesto možemo staviti bilo koju cifru osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]), na drugo mesto možemo bilo koju (ukupno [inlmath]10[/inlmath]), na treće mesto bilo koju (ukupno [inlmath]10[/inlmath]) i na četvrto mesto bilo koju izuzev [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] (ukupno [inlmath]8[/inlmath]).
  Broj onih brojeva koji su bez nula: Na prvo mesto možemo staviti bilo koju cifru osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]), na drugo mesto možemo bilo koju osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]), na treće mesto bilo koju osim [inlmath]0[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]) i na četvrto mesto bilo koju izuzev [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] (ukupno [inlmath]8[/inlmath]).
  To je [inlmath]9\cdot10\cdot10\cdot8-9\cdot9\cdot9\cdot8=1368[/inlmath] mogućnosti.

I, kad se to sabere, dobija se [inlmath]720+153+1368=2241[/inlmath] mogućnosti.

A može i: Ako je proizvod cifara [inlmath]0[/inlmath], minimum jedna mora da bude [inlmath]0[/inlmath]. Da četvorocifreni broj ne bi bio deljiv sa [inlmath]25[/inlmath] ne sme da se završava na [inlmath]00[/inlmath], [inlmath]25[/inlmath], [inlmath]50[/inlmath], [inlmath]75[/inlmath]. U brojevima od [inlmath]1000[/inlmath] do [inlmath]1099[/inlmath] imamo [inlmath]96[/inlmath] brojeva koji ispunjavaju uslov zadatka (to važi i za brojeve od [inlmath]2000[/inlmath] do [inlmath]2099[/inlmath], [inlmath]3000[/inlmath] do [inlmath]3099[/inlmath]... [inlmath]9000[/inlmath] do [inlmath]9099[/inlmath]). Iz toga sledi [inlmath]96\cdot9[/inlmath]. Zatim, od [inlmath]1100[/inlmath] do [inlmath]1199[/inlmath] imamo [inlmath]17[/inlmath] brojeva koji ispunjavaju ([inlmath]1101[/inlmath], [inlmath]1102[/inlmath], [inlmath]1103[/inlmath]... [inlmath]1109[/inlmath], [inlmath]1110[/inlmath], [inlmath]1120[/inlmath], [inlmath]1130[/inlmath], [inlmath]1140[/inlmath], [inlmath]1160[/inlmath]... [inlmath]1190[/inlmath]), što isto važi za [inlmath]1200[/inlmath] do [inlmath]1299[/inlmath], [inlmath]1300[/inlmath] do [inlmath]1399[/inlmath]... [inlmath]1900[/inlmath] do [inlmath]1999[/inlmath]. Odatle imamo [inlmath]17\cdot9[/inlmath], a zatim opet puta [inlmath]9[/inlmath] jer to važi i za kada su cifre hiljade [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath]... [inlmath]9[/inlmath]. Sledi [inlmath]96\cdot9+17\cdot9\cdot9=2241[/inlmath].

Ili, preko formule uključenja i isključenja.
Traženih broj dobićemo tako što od broja svih četvorocifrenih brojeva ([inlmath]9000[/inlmath]) oduzmemo broj onih koji ili nemaju nijednu nulu ili su deljivi sa [inlmath]25[/inlmath].
Pa sad definišimo skupove:
[inlmath]A[/inlmath] – skup svih četvorocifrenih brojeva koji nemaju nijednu nulu;
[inlmath]B[/inlmath] – skup svih četvorocifrenih brojeva koji su deljivi sa [inlmath]25[/inlmath];

Broj četvorocifrenih brojeva koji nemaju nijednu nulu:
[inlmath]|A|=9^4=6561[/inlmath] (jer se kod brojeva koji nemaju nijednu nulu na svakom mestu može naći neka od [inlmath]9[/inlmath] cifara.

Broj četvorocifrenih brojeva koji su deljivi sa [inlmath]25[/inlmath]:
[inlmath]|B|=\frac{9000}{25}=360[/inlmath] (jer je svaki [inlmath]25[/inlmath]-i od ukupno [inlmath]9000[/inlmath] četvorocifrenih brojeva deljiv sa [inlmath]25[/inlmath])

Broj četvorocifrenih brojeva koji nemaju nijednu nulu i deljivi su sa [inlmath]25[/inlmath]:
[inlmath]|A\cap B|=9\cdot9\cdot2=162[/inlmath] (jer se na prva dva mesta može naći neka od [inlmath]9[/inlmath] cifara, a za poslednja dva mesta imamo [inlmath]2[/inlmath] mogućnosti ([inlmath]25[/inlmath] i [inlmath]75[/inlmath]).

Traženi broj dobijamo kao [inlmath]9000-|A\cup B|[/inlmath], pri čemu je [inlmath]|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=6561+360-162=6759[/inlmath].
Prema tome, traženi broj je [inlmath]9000-6759=2241[/inlmath].

Moze i malo jednostavnije prvo vidimo koliko ima četverocifrenih brojeva čiji je proizvod cifara [inlmath]0[/inlmath] taj broj je jednak razlici ukupnog broja cetverocifrenih brojeva ([inlmath]9000[/inlmath]) i broja cetverocifrenih brojeva koji nemaju [inlmath]0[/inlmath] u svom zapisu ([inlmath]9^4[/inlmath]) sada imamo broj brojeva cetverocifrenih ciji je proizvod [inlmath]0[/inlmath]
Od tog broja oduzmemo broj cetverocifrenih broja ciji je proizvod [inlmath]0[/inlmath] i koji su djeljivi sa [inlmath]25[/inlmath]
Prvi slucaj ako je [inlmath]25[/inlmath] na zadnjoj poziciji onda [inlmath]0[/inlmath] mora biti na [inlmath]2.[/inlmath] Mjestu a prvo mjesto izaberemo na [inlmath]9[/inlmath] nacina, isto je i za [inlmath]75[/inlmath]
2. Slucaj ako je [inlmath]50[/inlmath] na zadnjem mjestu onda na [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]2.[/inlmath] mjestu mozemo izabrati na [inlmath]9[/inlmath] odnosno [inlmath]10[/inlmath] nacina ukupno [inlmath]90[/inlmath], isto je i kada su na kraju dvije nule
Dakle trazeni broj je [inlmath]9000-9^4-18-180=2241[/inlmath]