MATEMANIJA

Matematičko takmičenje „Kengur bez granica“ 2018, 9 – 10. razred, 27. zadatak

Pozdrav! Rešavao sam zadatak sa takmičenja Kengur bez granica 2018, ali ne znam kako da završim?
Tekst zadatka: Na koliko različitih načina možemo upisati brojeve skupa [inlmath]\{1,2,3,4,5,6\}[/inlmath] u polja pravougaone table [inlmath]2\times3[/inlmath], tako da se svaki broj nalazi u tačno jednom polju, a da zbir brojeva u svakoj vrsti i svakoj koloni bude deljiv brojem [inlmath]3[/inlmath]?
Tačan odgovor: [inlmath]48[/inlmath]

Moj predlog je da se polja označe na ovaj način:


Dalje zbirovi svih vrsta i kolona je [inlmath]2(a+b+c+d+e+f)=42[/inlmath]. Maksimalan zbir u redu (uz deljivost sa [inlmath]3[/inlmath]) bi mogao biti [inlmath]6+5+4=15[/inlmath], a maksimalan zbir u koloni (uz deljivost sa [inlmath]3[/inlmath]) bi mogao biti [inlmath]9=6+3=5+4[/inlmath]. Minimalan zbir u koloni i u vrsti (uz deljivost sa [inlmath]3[/inlmath]) bi mogao biti [inlmath]6=2+4=1+5=1+2+3[/inlmath].

Ja bih to ovako:
Posmatramo uslov da zbir po vrstama (tj. zbir tri broja) bude deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Zbir tri broja biće deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] u jednom od sledeća dva slučaja:

• kada su sva tri sabirka deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], tj. kada su sva tri broja oblika [inlmath]3k[/inlmath] ([inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath]);
• kada je jedan sabirak oblika [inlmath]3k[/inlmath], jedan sabirak oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] i jedan sabirak oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] ([inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath]).

Prva mogućnost otpada, pošto među brojevima zadatog skupa nemamo tri broja deljiva sa [inlmath]3[/inlmath] (ima ih samo dva). Prema tome, preostaje jedino druga mogućnost.

Posmatramo prvo na koliko načina možemo elemente skupa [inlmath]\{3k,\;3k+1,\;3k+2\}[/inlmath] rasporediti u polja prve vrste tabele. To, naravno, možemo učiniti na [inlmath]P_3=3![/inlmath] načina.

Zatim, pošto u zadatom skupu [inlmath]\{1,2,3,4,5,6\}[/inlmath] imamo po dva elementa oblika [inlmath]3k[/inlmath], po dva elementa oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] i po dva elementa oblika [inlmath]3k+2[/inlmath], to znači da u prvoj vrsti tabele element oblika [inlmath]3k[/inlmath] možemo izabrati na [inlmath]2[/inlmath] načina, element oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] na [inlmath]2[/inlmath] načina i element oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] na [inlmath]2[/inlmath] načina – ukupno [inlmath]2^3[/inlmath] načina odabira elemenata za prvu vrstu tabele.

Nakon što smo odabrali elemente za prvu vrstu tabele, elemente za drugu vrstu možemo odabrati i rasporediti na tačno jedan način, kako bi bio zadovoljen uslov da su zbirovi po kolonama deljivi sa [inlmath]3[/inlmath] (u istoj koloni u kojoj je element oblika [inlmath]3k[/inlmath] mora takođe doći element oblika [inlmath]3k[/inlmath], u istoj koloni u kojoj je element oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] mora doći element oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] i u istoj koloni u kojoj je element oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] mora doći element oblika [inlmath]3k+1[/inlmath]).

To je onda ukupno [inlmath]3!\cdot2^3=48[/inlmath] mogućnosti.