-
+2
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post (ukupno 2):
primus,
Frank
Reputacija: 9.09%
od Daniel » Subota, 02. Januar 2021, 21:55
Zanimljivo bi ovde bilo napomenuti da, ako po binomnoj formuli razvijemo svaki sabirak početne sume [inlmath]1+(1+x)+(1+x)^2+\cdots+(1+x)^n[/inlmath], tada sabirci [inlmath]1,\;1+x,\;(1+x)^2,\ldots,(1+x)^{k-1}[/inlmath] ne sadrže član sa [inlmath]x^k[/inlmath], tako da bismo sabiranjem dobili da je koeficijent uz [inlmath]x^k[/inlmath] jednak [inlmath]{k\choose k}+{k+1\choose k}+\cdots+{n\choose k}[/inlmath]. Ako to sad izjednačimo s rešenjem ovog zadatka, [inlmath]n+1\choose k+1[/inlmath], dobijamo identitet
[dispmath]\sum_{i=0}^n{i\choose k}=\sum_{i=k}^n{i\choose k}={n+1\choose k+1}[/dispmath] koji ima i svoj naziv – Hockey-stickov identitet.
Do njega se može doći primenom Paskalove formule, [inlmath]{n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}[/inlmath], tj. [inlmath]{n-1\choose k-1}={n\choose k}-{n-1\choose k}[/inlmath]:
[dispmath]\begin{align}
\sum_{i=k}^n{i\choose k}&=\sum_{i=k}^n{i+1\choose k+1}+\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}\\
&=\sum_{i=k+1}^{n+1}{i\choose k+1}+\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}\\
&=\cancel{\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}}+\sum_{i=n+1}^{n+1}{i\choose k+1}-\sum_{i=k}^k{i\choose k+1}+\cancel{\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}}\\
&={n+1\choose k+1}-\underbrace{k\choose k+1}_0\\
&={n+1\choose k+1}
\end{align}[/dispmath] što bi, ujedno, mogao biti i još jedan (mada dosta komplikovaniji) način rešavanja ovog zadatka. Svakako preporučujem onaj koji je prethodno pokazan i koji je daleko jednostavniji, preko sume geometrijskog niza.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain