Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

U datom razvoju odrediti koeficijent uz x^k

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

U datom razvoju odrediti koeficijent uz x^k

Postod Frank » Petak, 01. Januar 2021, 23:10

Pozdrav i srećna Nova godina svim forumašima! :occasion-xmas:

Nikako ne uspevam da izadjem na kraj sa sledećim zadatkom:
U razvoju [inlmath]1+(1+x)+(1+x)^2+\cdots+(1+x)^n[/inlmath] po stepenima osnove [inlmath]x[/inlmath] naći koeficijent uz [inlmath]x^k[/inlmath] ([inlmath]0\le k\le n[/inlmath]).
Rešenje: [inlmath]n+1\choose k+1[/inlmath]

Jedino što mi je palo na pamet je da dati razvoj predstavim kao sumu geometrijskog niza. Nakon primene formule za zbir geometrijske progresije dobijam da je dati razvoj jednak
[dispmath]\frac{(1+x)^{n+1}-1}{x}[/dispmath] Nemam ideju šta dalje treba uraditi tako da je svaka pomoć dobrodošla. Naravno, ne isključujem mogućnost da ovaj način uopšte ne vodi do konačnog rešenja zadatka. Hvala unapred! :D
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: U datom razvoju odrediti koeficijent uz x^k

Postod primus » Subota, 02. Januar 2021, 07:05

Pozdrav.
Opšti član razvoja binoma [inlmath](1+x)^n[/inlmath] je [inlmath]{n\choose k}x^k[/inlmath], a opšti član razvoja binoma [inlmath](1+x)^{n+1}[/inlmath] je [inlmath]{n+1\choose k}x^k[/inlmath]. Kako u imeniocu razlomka kojeg si dobio figurira [inlmath]x[/inlmath] nas interesuje koliko iznosi koeficijent uz član [inlmath]x^{k+1}[/inlmath] u razvoju binoma [inlmath](1+x)^{n+1}[/inlmath]. Nije teško zaključiti da je on jednak [inlmath]n+1\choose k+1[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

  • +2

Re: U datom razvoju odrediti koeficijent uz x^k

Postod Daniel » Subota, 02. Januar 2021, 21:55

Zanimljivo bi ovde bilo napomenuti da, ako po binomnoj formuli razvijemo svaki sabirak početne sume [inlmath]1+(1+x)+(1+x)^2+\cdots+(1+x)^n[/inlmath], tada sabirci [inlmath]1,\;1+x,\;(1+x)^2,\ldots,(1+x)^{k-1}[/inlmath] ne sadrže član sa [inlmath]x^k[/inlmath], tako da bismo sabiranjem dobili da je koeficijent uz [inlmath]x^k[/inlmath] jednak [inlmath]{k\choose k}+{k+1\choose k}+\cdots+{n\choose k}[/inlmath]. Ako to sad izjednačimo s rešenjem ovog zadatka, [inlmath]n+1\choose k+1[/inlmath], dobijamo identitet
[dispmath]\sum_{i=0}^n{i\choose k}=\sum_{i=k}^n{i\choose k}={n+1\choose k+1}[/dispmath] koji ima i svoj naziv – Hockey-stickov identitet.

Do njega se može doći primenom Paskalove formule, [inlmath]{n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}[/inlmath], tj. [inlmath]{n-1\choose k-1}={n\choose k}-{n-1\choose k}[/inlmath]:
[dispmath]\begin{align}
\sum_{i=k}^n{i\choose k}&=\sum_{i=k}^n{i+1\choose k+1}+\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}\\
&=\sum_{i=k+1}^{n+1}{i\choose k+1}+\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}\\
&=\cancel{\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}}+\sum_{i=n+1}^{n+1}{i\choose k+1}-\sum_{i=k}^k{i\choose k+1}+\cancel{\sum_{i=k}^n{i\choose k+1}}\\
&={n+1\choose k+1}-\underbrace{k\choose k+1}_0\\
&={n+1\choose k+1}
\end{align}[/dispmath] što bi, ujedno, mogao biti i još jedan (mada dosta komplikovaniji) način rešavanja ovog zadatka. Svakako preporučujem onaj koji je prethodno pokazan i koji je daleko jednostavniji, preko sume geometrijskog niza.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 47 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 16:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs