Drugi probni prijemni ispit FON – 22. jun 2017.
18. zadatak

U razvoju [inlmath]\left(x-\sqrt{x}\right)^{2017}[/inlmath] broj članova koji su oblika [inlmath]K\cdot x^{3m}[/inlmath], gde su [inlmath]K[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] celi brojevi jednak je;
Tačan odgovor je [inlmath]336[/inlmath]

Video sam da je na forumu dosta rešavano zadataka ovog tipa, ali čisto da pokažem još jedan zanimljiv način - preko nizova.
Prvo malo sredimo - [inlmath]\left(x-x^\frac{1}{2}\right)^{2017}[/inlmath]
Potom pođemo od opšteg člana;
[inlmath]T_{k+1}={2017\choose k}x^{2017-k}\cdot\left(-1\right)^k\cdot x^\frac{k}{2}[/inlmath], mada nam u ovom slučaju [inlmath]\left(-1\right)^k[/inlmath] nije bitno, da se tražio broj npr pozitivnih iracionalnih i te kako bi bilo od značaja.
Potom saberemo eksponente istih osnova;
[dispmath]2017-k+\frac{k}{2}=0[/dispmath] Odakle se dobija [inlmath]\frac{4034-k}{2}=0[/inlmath]
Ne zaboravimo početni uslov a to je da [inlmath]k[/inlmath] mora da bude deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath], tj. da sve bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].


Sada krećemo da postepeno ubacujemo jednu po jednu [inlmath]k[/inlmath] vrednost;
za [inlmath]k=0[/inlmath], dobijamo vrednost [inlmath]4034[/inlmath], međutim, njega ne uzimamo u obzir jer nije deljiv sa [inlmath]6[/inlmath].
Ako ubacimo vrednost [inlmath]k=1[/inlmath], dobijamo [inlmath]4033[/inlmath], što takođe nije deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].
Ako ubacimo vrednost [inlmath]k=2[/inlmath], dobijamo [inlmath]4032[/inlmath] što je deljivo sa [inlmath]6[/inlmath], tako da će to biti prvi član ([inlmath]a_1[/inlmath]) koji prihvatamo (tj. [inlmath]1.[/inlmath] član aritmetičkog niza).
Isti postupak ponavljamo dok ne dobijemo [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja je deljiva sa [inlmath]6[/inlmath].
Primetićemo da je svaki [inlmath]6.[/inlmath] član deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], što znači da je razlika [inlmath]6d[/inlmath]
Iz ovoga dobijamo skup [inlmath]k[/inlmath];
[dispmath]k\in\left\{2,8,14,\ldots\right\}[/dispmath] E sad, da bismo videli dokle vrednosti [inlmath]k[/inlmath] idu, krećemo od poslednjeg člana tj. [inlmath]2017[/inlmath] da vidimo da li je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath] (isti postupak kao malopre) i uočićemo da je tek [inlmath]2012.[/inlmath] član deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], tako da će on biti poslednji.
Prema tome, [inlmath]k[/inlmath] skup izgleda ovako;
[dispmath]k\in\left\{2,8,14,\ldots,2012\right\}[/dispmath] Prema ovome, prvi član [inlmath]a_1[/inlmath] je [inlmath]2[/inlmath], razlika [inlmath]d[/inlmath] je [inlmath]6[/inlmath] a poslednji član ([inlmath]a_n[/inlmath]) je [inlmath]2012[/inlmath].
Formula za opšti član aritmetičkog niza glasi;
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d\\
2012=2+6n-6[/dispmath] Odakle dobijamo da je samo [inlmath]n=336[/inlmath]

Acim je napisao:Odakle se dobija [inlmath]\frac{4034-k}{2}=0[/inlmath]
Ne zaboravimo početni uslov a to je da [inlmath]k[/inlmath] mora da bude deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath], tj. da sve bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].

Da budemo precizni, razlomak na levoj strani ne treba da bude jednak nuli nego deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Ako bismo insistirali na takvom zapisu, pravilno bi bilo
[dispmath]\frac{4034-k}{2}=3t\hspace{5cm}t\in\mathbb{N}_0[/dispmath] I, sada tražimo [inlmath]k[/inlmath] za koje je brojilac deljiv sa [inlmath]6[/inlmath]. Ne moramo da uvrštavamo jednu po jednu vrednost za [inlmath]k[/inlmath]. Dovoljno je da uočimo da [inlmath]k[/inlmath] mora da bude parno (da bi oduzeto od [inlmath]4034[/inlmath] brojilac bio paran. U isto vreme, deljenjem sa [inlmath]3[/inlmath] mora da da ostatak [inlmath]2[/inlmath] (opet, da bi oduzet od od [inlmath]4034[/inlmath] dao broj koji je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]). Takođe, odmah možemo da uočimo da će razlika dva uzastopna [inlmath]k[/inlmath] biti [inlmath]6[/inlmath], bez računanja. Sličnom logikom određujemo i najveće [inlmath]k[/inlmath] koje zadovoljava zadate uslove.

Naravno, tvoj postupak je tačan (uz korekciju zapisa koju sam naveo), ali ovako štediš solidnu količinu vremena, a to na prijemnom može da bude poprilično važno.

Hvala na savetu.