Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Odrediti broj trojki (a, b, c) čiji je proizvod 2000

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Odrediti broj trojki (a, b, c) čiji je proizvod 2000

Postod Frank » Ponedeljak, 11. Januar 2021, 23:15

Pozdrav! Tekst zadatka je sledeći:

Koliko ima trojki [inlmath](a,b,c)[/inlmath] prirodnih brojeva za koje važi [inlmath]abc=2000[/inlmath]?
Rešenje: [inlmath]150[/inlmath]

Prvo (a i jedino) sam [inlmath]2000[/inlmath] rastavio na proste činioce, tj. [inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath]. Kako duže vreme nisam uspeo da nađem način da rešim zadatak, pogledao sam u rešenja u kojima piše sledeće - [inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath], pa se problem svodi na to na koliko načina možemo [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]5[/inlmath] kuglica rasporediti u tri kutije [inlmath]{6\choose2}\cdot{5\choose2}=150[/inlmath]. Uopšte mi nije jasno zašto su raspoređivali [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]5[/inlmath] kuglica kad [inlmath]2000[/inlmath] ima [inlmath]7[/inlmath] faktora (četiri dvojke i tri petice). Meni je logičnije da za konačno rešenje zadatka uzmemo broj mogućih rasporeda [inlmath]7[/inlmath] različitih kuglica u tri različite kutije tako da nijedna kutija nije prazna. Hvala! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Odrediti broj trojki (a, b, c) čiji je proizvod 2000

Postod Daniel » Utorak, 12. Januar 2021, 07:21

Hajde da krenem od kraja pa da prvo odgovorim na poslednje pitanje. Zašto ne [inlmath]7[/inlmath] kuglica u [inlmath]3[/inlmath] kutije – pre svega, raspoređivanje dvojaka i raspoređivanje petica treba vršiti potpuno nezavisno jedno od drugog. Znači, svakom rasporedu dvojaka odgovaraju svi mogući rasporedi petica, i obratno (to je i razlog zbog kojeg se u tačnom rešenju binomni koeficijenti množe). Primera radi, ako smo sve dvojke pridružili broju [inlmath]c[/inlmath] (znači, raspored dvojaka bi bio [inlmath]004[/inlmath]), tom jednom rasporedu dvojaka odgovaraju svi mogući rasporedi petica: [inlmath]003[/inlmath], [inlmath]012[/inlmath], [inlmath]021[/inlmath], [inlmath]030[/inlmath], [inlmath]102[/inlmath], itd. do [inlmath]300[/inlmath]. Za sledeći mogući raspored dvojaka, [inlmath]013[/inlmath], petice možemo rasporediti na potpuno isti broj načina kao i u prethodnom slučaju, od [inlmath]003[/inlmath] do [inlmath]300[/inlmath]. E zbog toga se brojevi mogućnosti rasporeda dvojaka i mogućnosti rasporeda petica – množe.

Što se tiče rešenja koje si naveo,
Frank je napisao:[inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath], pa se problem svodi na to na koliko načina možemo [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]5[/inlmath] kuglica rasporediti u tri kutije [inlmath]{6\choose2}\cdot{5\choose2}=150[/inlmath].

ako zaista piše tako, onda je to greška. Treba da stoji
[inlmath]2000=2^4\cdot5^3[/inlmath], pa se problem svodi na to na koliko načina možemo [inlmath]\color{red}4[/inlmath], tj. [inlmath]\color{red}3[/inlmath] kuglice rasporediti u tri kutije [inlmath]{6\choose2}\cdot{5\choose2}=150[/inlmath].

O broju načina da se u [inlmath]n[/inlmath] kutija rasporedi [inlmath]k[/inlmath] kuglica (a koji iznosi [inlmath]{n+k-1\choose k}={n+k-1\choose n-1}[/inlmath]) možeš pročitati ovde (poglavlje „Kombinacije s ponavljanjem“). Uvrštavanjem odgovarajućih vrednosti za [inlmath]n[/inlmath] i za [inlmath]k[/inlmath] iz ovog zadatka, tačno ćeš dobiti [inlmath]6\choose2[/inlmath], odnosno [inlmath]5\choose2[/inlmath].



A mogu se čak i odmah, bez ikakvih kutija i kuglica, primeniti kombinacije s ponavljanjem, ako se uoči analogija. Prvo posmatrajmo pridruživanje dvojaka (ukupno njih [inlmath]4[/inlmath]) brojevima [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. To je ekvivalentno situaciji u kojoj iz skupa [inlmath]\{a,b,c\}[/inlmath] vršimo odabir [inlmath]4[/inlmath] puta s vraćanjem, pri čemu redosled izvlačenja nije bitan (dakle, kombinacije s ponavljanjem), i pri svakom izvlačenju nekog od ta tri broja pridružimo mu po jednu dvojku. Onoliko puta koliko neki od tih brojeva izvučemo, toliko će mu dvojaka biti pridruženo. Prema tome, imamo kombinacije s ponavljanjem od [inlmath]3[/inlmath] elementa ([inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]) [inlmath]4.[/inlmath] klase (jer imamo [inlmath]4[/inlmath] dvojke), a to je [inlmath]{3+4-1\choose4}={6\choose4}={6\choose2}[/inlmath].
Analogno i za izvlačenje (tj. pridruživanje) petica.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti broj trojki (a, b, c) čiji je proizvod 2000

Postod primus » Utorak, 12. Januar 2021, 10:52

@Daniel Da li su tvojim rešenjem obuhvaćene i one trojke koje sadrže jedinicu? Npr. [inlmath](1,16,125)[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Odrediti broj trojki (a, b, c) čiji je proizvod 2000

Postod Daniel » Utorak, 12. Januar 2021, 14:39

Jesu, jedinica odgovara slučaju da nekom od brojeva [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] ili [inlmath]c[/inlmath] nije pridružena ni dvojka ni petica. Ili, po metodi izvlačenja brojeva iz skupa – da neki od brojeva nije uopšte izvučen.
Konkretno, za tvoj primer raspored dvojaka bi bio [inlmath]040[/inlmath], a raspored petica [inlmath]003[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 09:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs