Prijemni ispit FON – 5. septembar 2013.
20. zadatak

Poz svima! Mučim se satima da provalim ovaj zadatak:

U razvoju [inlmath]\left(xy^{\frac{1}{4}}+yx^{\frac{2}{3}}\right)^{2013}[/inlmath] broj članova koji su oblika [inlmath]M\cdot x^ay^b[/inlmath], gde su [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] celi brojevi, jednak je:
[inlmath]A)\;335;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;336;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;504;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;169;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;168.[/inlmath]

Došao sam do ovog dela rešavanja:
[dispmath]{2013\choose k}x^{2013-k+\frac{2k}{3}}y^{\frac{2013-k}{4}+k}[/dispmath] I sad ne znam šta dalje...

Buni me to što se traže celi brojevi i za [inlmath]a[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath]. Ne znam kako se ovo radi.

Unapred hvala na svakom savetu.

Pozdrav,
Sada iskoristiš osobinu eksponenta a to je [inlmath]a^n\cdot a^n=a^{n+n}=a^{2n}[/inlmath]
Za [inlmath]x[/inlmath] dobijamo [inlmath]\frac{6039-k}{3}[/inlmath], dok za [inlmath]y[/inlmath] dobijamo [inlmath]\frac{2013+3k}{4}[/inlmath]

E sad, da bi ovaj izraz bio ceo broj, [inlmath]\frac{6039-k}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{2013+3k}{4}[/inlmath] moraju biti deljivi, a kako se uzajamno prosti brojevi, moraju biti deljivi sa [inlmath]12[/inlmath]. Međutim, da bi izbegao još veće cifre možeš da gledaš i ovako;
Izabereš proizvoljan broj [inlmath]k[/inlmath] i gledaš da ta vrednost bude deljiva i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]4[/inlmath]. Uočićeš da je prva vrednost [inlmath]k[/inlmath] koja ispunjava oba uslova [inlmath]k=9[/inlmath]. Sličnim postupkom, sledeća [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava i jedan i drugi uslov je [inlmath]k=21[/inlmath].
E sad, savetujem ti da ovo rešavaš preko nizova.
Prvi član koji ispunjava uslov je [inlmath]9[/inlmath], znači [inlmath]a_1=9[/inlmath]. Takođe uočićeš da svaki [inlmath]12[/inlmath]-ti član ispunjava uslov, što znači da je razlika [inlmath]d=12[/inlmath] i na kraju gledaš koja je poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov. U ovom slučaju, ta vrednost je [inlmath]2013[/inlmath], a to je ujedno i [inlmath]n[/inlmath]-ti član.

Sada primeni opšti član niza; [inlmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/inlmath]

Kada zamenimo vrednosti dobijamo: [inlmath]2013=9+\left(n-1\right)\cdot12[/inlmath] odakle se dobija da je [inlmath]n=168[/inlmath] što je i rešenje zadatka.
Nadam se da sam koliko-toliko korektno objasnio. Ako ima još nejasnoća, tu smo.

Odlično si mi objasnio, hvala ti puno!

Probao sam preko niza i ja ali sam se zbunio jer sam dobio [inlmath]336[/inlmath] na kraju. Ali vidim sad gde sam pogrešio.