Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Binomna formula – prijemni FON septembar 2013.

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Binomna formula – prijemni FON septembar 2013.

Postod boki01 » Utorak, 23. Mart 2021, 13:02

Prijemni ispit FON – 5. septembar 2013.
20. zadatak


Poz svima! Mučim se satima da provalim ovaj zadatak:

U razvoju [inlmath]\left(xy^{\frac{1}{4}}+yx^{\frac{2}{3}}\right)^{2013}[/inlmath] broj članova koji su oblika [inlmath]M\cdot x^ay^b[/inlmath], gde su [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] celi brojevi, jednak je:
[inlmath]A)\;335;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;336;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;504;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;169;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;168.[/inlmath]

Došao sam do ovog dela rešavanja:
[dispmath]{2013\choose k}x^{2013-k+\frac{2k}{3}}y^{\frac{2013-k}{4}+k}[/dispmath] I sad ne znam šta dalje...

Buni me to što se traže celi brojevi i za [inlmath]a[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath]. Ne znam kako se ovo radi.

Unapred hvala na svakom savetu.
boki01  OFFLINE
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Binomna formula – prijemni FON septembar 2013.

Postod Acim » Sreda, 24. Mart 2021, 01:24

Pozdrav,
Sada iskoristiš osobinu eksponenta a to je [inlmath]a^n\cdot a^n=a^{n+n}=a^{2n}[/inlmath]
Za [inlmath]x[/inlmath] dobijamo [inlmath]\frac{6039-k}{3}[/inlmath], dok za [inlmath]y[/inlmath] dobijamo [inlmath]\frac{2013+3k}{4}[/inlmath]

E sad, da bi ovaj izraz bio ceo broj, [inlmath]\frac{6039-k}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{2013+3k}{4}[/inlmath] moraju biti deljivi, a kako se uzajamno prosti brojevi, moraju biti deljivi sa [inlmath]12[/inlmath]. Međutim, da bi izbegao još veće cifre možeš da gledaš i ovako;
Izabereš proizvoljan broj [inlmath]k[/inlmath] i gledaš da ta vrednost bude deljiva i sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]4[/inlmath]. Uočićeš da je prva vrednost [inlmath]k[/inlmath] koja ispunjava oba uslova [inlmath]k=9[/inlmath]. Sličnim postupkom, sledeća [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava i jedan i drugi uslov je [inlmath]k=21[/inlmath].
E sad, savetujem ti da ovo rešavaš preko nizova.
Prvi član koji ispunjava uslov je [inlmath]9[/inlmath], znači [inlmath]a_1=9[/inlmath]. Takođe uočićeš da svaki [inlmath]12[/inlmath]-ti član ispunjava uslov, što znači da je razlika [inlmath]d=12[/inlmath] i na kraju gledaš koja je poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov. U ovom slučaju, ta vrednost je [inlmath]2013[/inlmath], a to je ujedno i [inlmath]n[/inlmath]-ti član.

Sada primeni opšti član niza; [inlmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/inlmath]

Kada zamenimo vrednosti dobijamo: [inlmath]2013=9+\left(n-1\right)\cdot12[/inlmath] odakle se dobija da je [inlmath]n=168[/inlmath] što je i rešenje zadatka.
Nadam se da sam koliko-toliko korektno objasnio. Ako ima još nejasnoća, tu smo. :D
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Binomna formula – prijemni FON septembar 2013.

Postod boki01 » Sreda, 24. Mart 2021, 10:29

Odlično si mi objasnio, hvala ti puno!

Probao sam preko niza i ja ali sam se zbunio jer sam dobio [inlmath]336[/inlmath] na kraju. Ali vidim sad gde sam pogrešio.
boki01  OFFLINE
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: radov1c, zivkovicslobodan i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 28. Jun 2022, 21:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs