Ja ovaj zadatak nisam shvatio tako da svako igra protiv svakog. Tekst ukazuje na to da svako rešava zadatke individualno – i u zavisnosti od toga da li je zadatak rešen ili ne, ili uopšte nije ni rađen, dobija [inlmath]+[/inlmath], [inlmath]-[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath].
Ne znam samo šta u ovom smislu znači „presedanje“ – pretpostavljam da je to greška, da umesto toga treba da stoji „pregledanje“.
Neka imamo ukupno [inlmath]n[/inlmath] zadataka (minimalno [inlmath]n[/inlmath] je ono što treba da odredimo). Broj pluseva (označimo ga sa [inlmath]n_+[/inlmath]) tada može biti od [inlmath]0[/inlmath] ako nijedan zadatak nije rešen, do [inlmath]n[/inlmath] ako su svi zadaci rešeni (ukupno [inlmath]n+1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_+[/inlmath]).
Za neko konkretno [inlmath]n_+[/inlmath], broj minusa (označimo ga sa [inlmath]n_-[/inlmath]) može ići od [inlmath]0[/inlmath] pa do [inlmath]n-n_+[/inlmath] (ukupno [inlmath]n-n_++1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath]).
To znači:
- za [inlmath]n_+=0[/inlmath] imamo [inlmath]n+1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath];
- za [inlmath]n_+=1[/inlmath] imamo [inlmath]n[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath];
- za [inlmath]n_+=2[/inlmath] imamo [inlmath]n-1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath];
[inlmath]\vdots[/inlmath] - za [inlmath]n_+=n-1[/inlmath] imamo [inlmath]2[/inlmath] mogućnost za [inlmath]n_-[/inlmath];
- za [inlmath]n_+=n[/inlmath] imamo [inlmath]1[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]n_-[/inlmath].
Ukupan broj mogućnosti je, prema tome,
[dispmath]\sum_{n_+=0}^n(n-n_++1)=\cdots[/dispmath] Ova suma aritmetičkog niza se lako izračuna, nakon čega je još samo potrebno postaviti uslov da je vrednost te sume [inlmath]\ge55[/inlmath] (jer bi u protivnom, prema Dirihleovom principu, morala postojati bar dva takmičara s istim brojem pluseva i minusa, a što je protivno uslovu zadatka).