Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Smeštanje različitih kuglica u iste kutije

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Smeštanje različitih kuglica u iste kutije

Postod makica » Sreda, 28. April 2021, 22:38

Pozdrav!
Sledi zadatak za koji nisam sigurna da li razmišljam na dobar način:

Na koliko različitih načina se mogu rasporediti [inlmath]3[/inlmath] kuglice u [inlmath]3[/inlmath] kutije tako da je svaka kuglica u nekoj kutiji i neke kutije mogu biti i prazne, ako se kuglice razlikuju i kutije ne razlikuju.

Da li se obično u ovakom tipu zadatka to da se kutije ne razlikuju odnosi na to da je isto da li se na primer sve [inlmath]3[/inlmath] kuglice nalaze u prvoj kutiji ili u drugoj ili u trećoj? Odnosno, da redosled kutija nije bitan?

Po mojoj računici rešenje bi bilo sledeće:
Postoje sledeći slučajevi:
  1. Sve kuglice su u jednoj kutiji - [inlmath]1[/inlmath] način da rasporedimo
  2. Dve kuglice su u jednoj kutiji i jedna u drugoj - Od tri kuglice biram dve, to mogu uraditi na tri načina
  3. Svaka kuglica je u različitoj kutiji - Kako se kutije ne razlikuju svejedno je koja kuglica je u kojoj kutiji te ovo mogu uraditi na [inlmath]1[/inlmath] način.
Ukupno postoji [inlmath]1+3+1=5[/inlmath] načina

Da li razmišljam na dobar način? Da li postoji neka opšta formula za rešavanje ovakvih problema?
makica  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Smeštanje različitih kuglica u iste kutije

Postod Vivienne » Četvrtak, 29. April 2021, 07:57

Zdravo, ovde (u delu kombinacije s ponavljanjem) imaš objašnjen opšti slučaj (na više načina), međutim ovaj zadatak se razlikuje u tome što su kuglice različite.
Ja mislim da bi trebalo da se koriste permutacije sa ponavljanjem, gde imamo ukupno [inlmath]5[/inlmath] elemenata ( [inlmath]3[/inlmath] kuglice i dva pregradna zida) od kojih se jedan (pregradni zid) ponavlja dva puta. Sad ja nisam sigurna, da li je ovo tačno rešenje :unsure: .
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta

Re: Smeštanje različitih kuglica u iste kutije

Postod Vivienne » Četvrtak, 29. April 2021, 13:32

Zapravo moj način nije tačan :facepalm: , @makica mislim da ti je dobro.
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta

Re: Smeštanje različitih kuglica u iste kutije

Postod Vivienne » Petak, 30. April 2021, 09:37

Ovaj zadatak me je poprilično namučio, ali naučila sam da su postupci drugačiji u zavisnosti od toga da li su neki elementi identični ili ne. Te sam u potrazi naišla i na još jedan način na koji se rešava zadatak ovog tipa.
Postoji [inlmath]3^3=27[/inlmath] načina da se rasporede 3 različite lopte u tri različite kutije, međutim tu se ponavljaju određeni slučajevi. Slučaj kada su sve lopte u jednoj kutiji se računao [inlmath]3[/inlmath] puta([inlmath]\frac{3!}{2!}[/inlmath] imamo 3 kutije, od kojih su dve kutije prazne), od [inlmath]27-3=24[/inlmath], u tih [inlmath]24[/inlmath] načina ostali su oni koji su se ponavljali [inlmath]3![/inlmath] puta (to su permutacije 3 elemenata tj. tri kutije pošto su one posmatrane kao različite tu spadaju oba slučaja i kada se u kutijama nalazi po jedna loptica i kada se nalaze dve, jedna i nijedna) ispada [inlmath]\frac{24}{3!}[/inlmath]
Na to treba dodati [inlmath]1[/inlmath], to je onaj slučaj kada su sve tri lopte u jednoj kutiji i dobija se [inlmath]5[/inlmath].
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:41 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs