Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Raspoređivanje knjiga na police

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Raspoređivanje knjiga na police

Postod Suzana » Petak, 30. April 2021, 11:00

Kako rešiti zadatak:

Na koliko načina možemo rasporediti [inlmath]25[/inlmath] knjiga na policu od kojih je [inlmath]5[/inlmath] zbirki pesama tako da:
1) svih [inlmath]5[/inlmath] zbirki pesama budu jedna do druge,
2) nikoje dve zbirke pesama ne budu jedna do druge

Pokušao sam preko permutacija sa ponavljanjem ali ne ide...
Tražio sam sličan zadatak i ni to ne ide.
Suzana  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Raspoređivanje knjiga na police

Postod emi » Petak, 30. April 2021, 12:41

pod 2)
Prvo rasporedjujemo knjige koje nisu zbirke pesama. Njih ima [inlmath]20[/inlmath], znaci mozemo na [inlmath]20![/inlmath] nacina.
Ostalih [inlmath]5[/inlmath] knjiga (po jednu) mozemo ubaciti izmedju tih [inlmath]20[/inlmath] knjiga, ali i na prvom i na poslednjem mestu. Znaci (crtice su tih [inlmath]20[/inlmath] knjiga):
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

mozemo odabrati [inlmath]5[/inlmath] od [inlmath]21[/inlmath]: [inlmath]21\choose5[/inlmath]
A zbirke medju sobom: [inlmath]5![/inlmath]

Konacno: [inlmath]20!\cdot{21\choose5}\cdot5![/inlmath]

Ako sam negde pogresila neka me neko ispravi.
Poslednji put menjao emi dana Petak, 30. April 2021, 12:55, izmenjena samo jedanput
emi  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 58 puta
Pohvaljen: 56 puta

  • +1

Re: Raspoređivanje knjiga na police

Postod emi » Petak, 30. April 2021, 12:53

pod 1)
Tih [inlmath]5[/inlmath] zbirki medju sobom mozemo odabrati na: [inlmath]5![/inlmath] nacina
Posto su svih [inlmath]5[/inlmath] zbirki jedna pored druge, njih mozemo posmatrati zajedno „kao da je jedna zbirka“.
Znaci ako posmatramo onih [inlmath]20[/inlmath] knjiga i tih [inlmath]5[/inlmath] zbirki (tj. „kao [inlmath]1[/inlmath] zbirku“), ukupno imamo [inlmath]21[/inlmath] knjigu, a njih mozemo rasporediti na: [inlmath]21![/inlmath] nacina

Ukupno: [inlmath]5!\cdot21![/inlmath]
emi  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 58 puta
Pohvaljen: 56 puta

Re: Raspoređivanje knjiga na police

Postod Suzana » Subota, 01. Maj 2021, 02:22

Hvala
Suzana  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Raspoređivanje knjiga na police

Postod Daniel » Ponedeljak, 17. Maj 2021, 12:14

Još jedan način za deo pod [inlmath]2)[/inlmath] (za knjige koje nisu zbirke pesama koristiću oznaku [inlmath]K[/inlmath], a za zbirke pesama koristiću oznaku [inlmath]Z[/inlmath]):

[inlmath]1.[/inlmath] slučaj: na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji se ne nalazi zbirka pesama
Kako bi se obezbedilo da nikoje dve zbirke pesama nisu jedna do druge, pre svake zbirke pesama stavićemo jednu knjigu koja nije zbirka pesama, te ćemo imati [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]KZ[/inlmath] i [inlmath]15[/inlmath] elemenata [inlmath]K[/inlmath], koje raspoređujemo na ukupno [inlmath]20[/inlmath] pozicija, što čini [inlmath]20\choose5[/inlmath] mogućnosti (od [inlmath]20[/inlmath] pozicija birali smo njih [inlmath]5[/inlmath] na koje stavljamo elemente [inlmath]KZ[/inlmath]).

[inlmath]2.[/inlmath] slučaj: na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji se nalazi zbirka pesama
Isto kao u prethodnom slučaju, s tim što sad ne posmatramo [inlmath]1.[/inlmath] poziciju (jer je ista zauzeta elementom [inlmath]Z[/inlmath]), već [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]KZ[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath] elemenata [inlmath]K[/inlmath] raspoređujemo na [inlmath]20[/inlmath] pozicija, što čini [inlmath]20\choose4[/inlmath] mogućnosti.

Na kraju je još potrebno zbir ovih mogućnosti, [inlmath]{20\choose5}+{20\choose4}[/inlmath], pomnožiti brojem permutacija zbirki ([inlmath]5![/inlmath]) i brojem permutacija knjiga koje nisu zbirke ([inlmath]20![/inlmath]).



P.S. Sasvim je očigledno da je rezultat dobijen na ovaj način, [inlmath]\Bigl({20\choose5}+{20\choose4}\Bigr)5!20![/inlmath], jednak rezultatu [inlmath]20!\cdot{21\choose5}\cdot5![/inlmath] dobijenom na prethodni način, ako se setimo Paskalove formule, [inlmath]{n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}={n\choose k}[/inlmath].

P.S.2 Broj mogućnosti smo mogli računati i preko permutacija s ponavljanjem, kao što je Suzana i sugerisao (znam da je Suzana žensko ime, al' čovek sâm koristi muški rod u 1. licu, i to poštujem): za [inlmath]1.[/inlmath] slučaj [inlmath]\overline P_{20}^{5,15}=\frac{20!}{5!15!}[/inlmath], a za [inlmath]2.[/inlmath] slučaj [inlmath]\overline P_{20}^{4,16}=\frac{20!}{4!16!}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs