MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2020.
16. zadatak

Poz!

Ne znam da li se ovde krije neka zamka ili je nesto drugo u pitanju. Zadatak je bio prosle godine na FON-u, 2. probni prijemni ispit. Evo kako glasi:

Zbir binomnih koeficijenata u razvoju [inlmath]\displaystyle\left(\frac{2}{x}-\sqrt[3]{x^2}\right)^n[/inlmath], [inlmath]x\ne0[/inlmath] iznosi [inlmath]2^{30}[/inlmath]. Član razvoja koji ne sadrži [inlmath]x[/inlmath] jednak je:

[inlmath]\displaystyle2^{12}\cdot{30\choose12}[/inlmath]

Ja sam dobio da je [inlmath]k=16[/inlmath]. Proverio sam vise puta i ne vidim gde bih pogresio.

Evo postupak:

[inlmath]a=2\cdot x^{-1}[/inlmath], [inlmath]b=-1\cdot x^\frac{2}{3}[/inlmath], [inlmath]n=30[/inlmath],
[inlmath]T(k+1)={30\choose k}\cdot2^{30-k}\cdot x^{k-30}\cdot(-1)^k\cdot x^\frac{2k}{3}[/inlmath]. Iz ovoga, za clan koji ne sadrzi [inlmath]x[/inlmath] se dobija (izjednacavanjem sa [inlmath]x^0[/inlmath]):
[inlmath]k-30+\frac{2k}{3}=0[/inlmath]
[inlmath]k=16[/inlmath]

Sta mislite? Gde gresim?

Dobije se da je [inlmath]k=18[/inlmath].
[inlmath]k-30+\frac{2k}{3}=0[/inlmath] kad se pomnozi sa [inlmath]3[/inlmath] dobije se [inlmath]5k=90[/inlmath] i [inlmath]k=18[/inlmath]

Vidim gresku. Hvala.