Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Binomni obrazac – prijemni FON 2014. jul

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Binomni obrazac – prijemni FON 2014. jul

Postod Majki » Ponedeljak, 14. Jun 2021, 23:04

Prijemni ispit FON – 8. jul 2014.
19. zadatak


Binomni koeficijent četvrtog člana u razvoju [inlmath]\left(\sqrt[\Large5]{11}+\sqrt[\Large11]5\right)^n[/inlmath] je [inlmath]671[/inlmath] puta veći od binomnog koeficijenta trećeg člana. Broj svih članova u ovom razvoju koji nisu celi brojevi jednak je:
Rešenje: [inlmath]1979[/inlmath]


Dobio sam da je [inlmath]n=2015[/inlmath], ali sigurno postoji način da se nađu članovi koji su celi brojevi a da nije razvijanje celog binoma. Kako bih dalje?

Hvala unapred!
Majki  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Binomni obrazac – prijemni FON 2014. jul

Postod Acim » Ponedeljak, 14. Jun 2021, 23:17

Zapiši potkorene veličine u sledećem obliku i iskoristi formulu za opšti član razvoja binoma;
[dispmath]11^\frac{2015-k}{5}\cdot5^\frac{k}{11}[/dispmath] Da bi član bio ceo broj, on mora da bude deljiv i sa [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]11[/inlmath] i odatle ubacuj [inlmath]k[/inlmath] vrednosti, kako bi videli koja od njih ispunjava oba uslova;
Prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja zadovoljava uslov je [inlmath]0[/inlmath] jer su članovi za tu vrednost celi brojevi ([inlmath]\frac{2015-0}{5}[/inlmath], [inlmath]\frac{0}{11}[/inlmath])
Sledeća [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov je [inlmath]55[/inlmath], pa [inlmath]110[/inlmath] itd...
Uočićeš da je razlika između [inlmath]k[/inlmath] vrednosti ista - iznosi [inlmath]55[/inlmath]

I onda zapišeš [inlmath]k[/inlmath] kao skup elemenata;
[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots\right)[/dispmath] i sad, da bi video koja poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost ispunjava uslov, kreneš od poslednje [inlmath]k[/inlmath] vrednosti - [inlmath]2015[/inlmath], ali primećujemo da je poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov [inlmath]1980[/inlmath]
Konačni oblik je sledeći;
[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots,1980\right)[/dispmath] E sad, rešavamo preko nizova;
Uviđamo da je razlika (kao što napomenuh gore) [inlmath]55[/inlmath], prvi član, tj prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost [inlmath]a_1=55[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]-ti član, tj. [inlmath]a_n=1980[/inlmath]
Sad iskoristi formulu za opšti član niza;
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/dispmath] Kada to izračunaš, dobićeš da celih brojeva imaš [inlmath]36[/inlmath], a traži se broj članova koji nisu celi br.
Na kraju oduzmeš od ukupnog broja članova članove koji su celi brojevi i tako dobiješ br članova koji nisu celi brojevi; [inlmath]2015-36=1979[/inlmath] što je i konačno rešenje.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Binomni obrazac – prijemni FON 2014. jul

Postod Majki » Ponedeljak, 14. Jun 2021, 23:36

Hvala mnogo! Kristalno jasno.
Majki  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Binomni obrazac – prijemni FON 2014. jul

Postod Daniel » Utorak, 15. Jun 2021, 01:01

Ima u postupku dve greške, koje su jedna drugu potrle, zbog čega je, eto, dobijen tačan rezultat. Dešava se i to. :)

Acim je napisao:[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots\right)[/dispmath]

Zaboravio si nulu: [inlmath]k\in\left(0,55,110,\ldots\right)[/inlmath]
(Prethodno si i sam, sasvim ispravno, konstatovao da je nula prva vrednost za [inlmath]k[/inlmath] koja zadovoljava uslov.)

Acim je napisao:[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots,1980\right)[/dispmath] E sad, rešavamo preko nizova;

Može i jednostavnije, tako što sve članove tog niza podelimo sa [inlmath]55[/inlmath]. Znači, nakon što uključimo i nulu, imamo niz:
[dispmath]0,55,110,\ldots,1980[/dispmath] Nakon deljenja svih članova niza sa [inlmath]55[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]0,1,2,\ldots,36[/dispmath] Naravno, deljenjem svih članova niza sa [inlmath]55[/inlmath], broj članova niza se nije promenio, ali ovako je članove lakše prebrojati. :)
Dakle, kad uključimo i nulu, ima ih [inlmath]37[/inlmath], a ne [inlmath]36[/inlmath].

Acim je napisao:Na kraju oduzmeš od ukupnog broja članova članove koji su celi brojevi i tako dobiješ br članova koji nisu celi brojevi; [inlmath]2015-36=1979[/inlmath] što je i konačno rešenje.

Ukupan broj članova razvoja nije [inlmath]2015[/inlmath]. Ukupan broj članova razvoja je [inlmath]n+1[/inlmath], ili u ovom slučaju [inlmath]2016[/inlmath]. Znači, [inlmath]2016-37=1979[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Binomni obrazac – prijemni FON 2014. jul

Postod Acim » Utorak, 15. Jun 2021, 07:41

Hvala na ispravci Daniele, tek sad uviđam da sam i tad taj zadatak na pogrešan način uradio, izvinjavam se na greški.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Binomni obrazac – prijemni FON 2014. jul

Postod Daniel » Utorak, 15. Jun 2021, 17:11

Nema potrebe za izvinjavanjem, ovde (i uopšte tokom priprema za prijemni) ovakve greške su čak i korisne, jer ih onda sigurno nećete ponoviti na prijemnom.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs