MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 8. jul 2014.
19. zadatak

Binomni koeficijent četvrtog člana u razvoju [inlmath]\left(\sqrt[\Large5]{11}+\sqrt[\Large11]5\right)^n[/inlmath] je [inlmath]671[/inlmath] puta veći od binomnog koeficijenta trećeg člana. Broj svih članova u ovom razvoju koji nisu celi brojevi jednak je:
Rešenje: [inlmath]1979[/inlmath]


Dobio sam da je [inlmath]n=2015[/inlmath], ali sigurno postoji način da se nađu članovi koji su celi brojevi a da nije razvijanje celog binoma. Kako bih dalje?

Hvala unapred!

Zapiši potkorene veličine u sledećem obliku i iskoristi formulu za opšti član razvoja binoma;
[dispmath]11^\frac{2015-k}{5}\cdot5^\frac{k}{11}[/dispmath] Da bi član bio ceo broj, on mora da bude deljiv i sa [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]11[/inlmath] i odatle ubacuj [inlmath]k[/inlmath] vrednosti, kako bi videli koja od njih ispunjava oba uslova;
Prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja zadovoljava uslov je [inlmath]0[/inlmath] jer su članovi za tu vrednost celi brojevi ([inlmath]\frac{2015-0}{5}[/inlmath], [inlmath]\frac{0}{11}[/inlmath])
Sledeća [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov je [inlmath]55[/inlmath], pa [inlmath]110[/inlmath] itd...
Uočićeš da je razlika između [inlmath]k[/inlmath] vrednosti ista - iznosi [inlmath]55[/inlmath]

I onda zapišeš [inlmath]k[/inlmath] kao skup elemenata;
[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots\right)[/dispmath] i sad, da bi video koja poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost ispunjava uslov, kreneš od poslednje [inlmath]k[/inlmath] vrednosti - [inlmath]2015[/inlmath], ali primećujemo da je poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov [inlmath]1980[/inlmath]
Konačni oblik je sledeći;
[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots,1980\right)[/dispmath] E sad, rešavamo preko nizova;
Uviđamo da je razlika (kao što napomenuh gore) [inlmath]55[/inlmath], prvi član, tj prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost [inlmath]a_1=55[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]-ti član, tj. [inlmath]a_n=1980[/inlmath]
Sad iskoristi formulu za opšti član niza;
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/dispmath] Kada to izračunaš, dobićeš da celih brojeva imaš [inlmath]36[/inlmath], a traži se broj članova koji nisu celi br.
Na kraju oduzmeš od ukupnog broja članova članove koji su celi brojevi i tako dobiješ br članova koji nisu celi brojevi; [inlmath]2015-36=1979[/inlmath] što je i konačno rešenje.

Hvala mnogo! Kristalno jasno.

Ima u postupku dve greške, koje su jedna drugu potrle, zbog čega je, eto, dobijen tačan rezultat. Dešava se i to.

Acim je napisao:[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots\right)[/dispmath]

Zaboravio si nulu: [inlmath]k\in\left(0,55,110,\ldots\right)[/inlmath]
(Prethodno si i sam, sasvim ispravno, konstatovao da je nula prva vrednost za [inlmath]k[/inlmath] koja zadovoljava uslov.)

Acim je napisao:[dispmath]k\in\left(55,110,\ldots,1980\right)[/dispmath] E sad, rešavamo preko nizova;

Može i jednostavnije, tako što sve članove tog niza podelimo sa [inlmath]55[/inlmath]. Znači, nakon što uključimo i nulu, imamo niz:
[dispmath]0,55,110,\ldots,1980[/dispmath] Nakon deljenja svih članova niza sa [inlmath]55[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]0,1,2,\ldots,36[/dispmath] Naravno, deljenjem svih članova niza sa [inlmath]55[/inlmath], broj članova niza se nije promenio, ali ovako je članove lakše prebrojati.
Dakle, kad uključimo i nulu, ima ih [inlmath]37[/inlmath], a ne [inlmath]36[/inlmath].

Acim je napisao:Na kraju oduzmeš od ukupnog broja članova članove koji su celi brojevi i tako dobiješ br članova koji nisu celi brojevi; [inlmath]2015-36=1979[/inlmath] što je i konačno rešenje.

Ukupan broj članova razvoja nije [inlmath]2015[/inlmath]. Ukupan broj članova razvoja je [inlmath]n+1[/inlmath], ili u ovom slučaju [inlmath]2016[/inlmath]. Znači, [inlmath]2016-37=1979[/inlmath].

Hvala na ispravci Daniele, tek sad uviđam da sam i tad taj zadatak na pogrešan način uradio, izvinjavam se na greški.

Nema potrebe za izvinjavanjem, ovde (i uopšte tokom priprema za prijemni) ovakve greške su čak i korisne, jer ih onda sigurno nećete ponoviti na prijemnom.